在机器学习问题中，通常将特征表示为向量的形式，所以在分析两个特征向量之间的相似性时，常使用余弦相似度来表示。余弦相似度的取值范围是[−1,1] ，相同的两个向量之间的相似度为1 。如果希望得到类似于距离的表示，将 1 减去余弦相似度即为余弦距离。因此，余弦距离的取值范围为[0,2] ，相同的两个向量余弦距离为0 。 -- -- -- --

问题1 结合你的学习和研究经历，探讨为什么在一些场景中要使用余弦相似度而不是欧氏距离？

对于两个向量 A 和 B ，其余弦相似度即两个向量夹角的余弦，关注的是向量之间的角度关系，并不关心它们的绝对大小，其取值范围是[−1,1] 。当一对文本相似度的长度差距很大、但内容相近时，如果使用词频或词向量作为特征，它们在特征空间中的的欧氏距离通常很大；而如果使用余弦相似度的话，它们之间的夹角可能很小，因而相似度高。此外，在文本、图像、视频等领域，研究的对象的特征维度往往很高，余弦相似度在高维情况下依然保持“ 相同时为 1 ，正交时为 0 ，相反时为 −1” 的性质，而欧氏距离的数值则受维度的影响，范围不固定，并且含义也比较模糊。 在一些场景，例如 Word2Vec中，其向量的模长是经过归一化的，此时欧氏距离与余弦距离有着单调的关系在此场景下，如果选择距离最小（相似度最大）的近邻，那么使用余弦相似度和欧氏距离的结果是相同的。 总体来说，欧氏距离体现数值上的绝对差异，而余弦距离体现方向上的相对差异。例如，统计两部剧的用户观看行为，用户A 的观看向量为 (0,1) ，用户 B 为(1,0)；此时二者的余弦距离很大，而欧氏距离很小；我们分析两个用户对于不同视频的偏好，更关注相对差异，显然应当使用余弦距离。而当我们分析用户活跃度，以登陆次数( 单位：次 ) 和平均观看时长 ( 单位：分钟 ) 作为特征时，余弦距离会认为(1,10) 、 (10,100) 两个用户距离很近；但显然这两个用户活跃度是有着极大差异的，此时我们更关注数值绝对差异，应当使用欧氏距离。 -- -- -- --

问题2 余弦距离是否是一个严格定义的距离?

该题主要考察面试者对距离的定义的理解，以及简单的反证和推导。首先看距离的定义：在一个集合中，如果每一对元素均可唯一确定一个实数，使得三条距离公理（正定性，对称性，三角不等式）成立，则该实数可称为这对元素之间的距离。

余弦距离满足正定性和对称性，但是不满足三角不等式，因此它并不是严格 定义的距离。

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面试者在碰到这类基础证明类的问题时，往往会遇到一些困难。比如对面试官考察的重点“ 距离 ” 的定义就不一定清晰地记得。这个时候，就需要跟面试官多沟通，在距离的定义上达成一致（要知道，面试考察的不仅是知识的掌握程度，还有面试者沟通和分析问题的能力）。要想给出一个完美的解答，就需要清晰的逻辑、严谨的思维。比如在正定性和对称性的证明过程中，只是给出含糊的表述诸如“ 显然满足 ” 是不好的，应该给出一些推导。最后，三角不等式的证明 / 证伪中，不应表述为“ 我觉得满足 / 不满足 ” ，而是应该积极分析给定三个点时的三角关系，或者推导其和欧氏距离的关系，这样哪怕一时找不到反例而误认为其是合法距离，也比“ 觉得不满足 ” 这样蒙对正确答案要好。

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