图形学笔记（九）几何 ——几何表示方法（CSG、距离函数、水平集 、点云、网格（obj格式））、贝塞尔曲线（面）

常见的曲面操作有如下三种，本文将主要对曲面细分和曲面简化进行介绍。

• 曲面细分（Mesh Subdivision）
• 曲面简化（Mesh Simplification）
• 曲面正则化（same triangles）
  让每个三角形更像正三角形。
  

文章目录

• 1 曲面细分
• • 1.1 Loop细分
  • • 1.1.1 Loop细分算法
    • 1.1.2 Loop细分结果
  • 1.2 Catmull-Clark细分（General Mesh）
  • • 1.2.1 基本概念
    • 1.2.2 Catmull-Clark细分算法
    • • 1）增加新点
      • 2）调整规则
    • 1.2.3 Catmull-Clark细分结果
• 2 曲面简化
• • 2.1 基本概念
  • • 2.1.1 边坍缩（Collapsing An Edge）
    • 2.1.2 二次误差度量（Quadric Error Metrics）
  • 2.2 通过二次误差来进行边坍缩

1 曲面细分

细分一般都要先加点，然后再调整点的位置。

1.1 Loop细分

Loop细分一般有两步操作：

1. 把三角形数量增多。
2. 改变三角形位置，让模型看上去更光滑。

1.1.1 Loop细分算法

1. 把每个三角形分成4个。
2. 根据权重分配新的顶点（新顶点和旧顶点的调整方式不同）。

更新新的顶点的方法 比如按照如下方式更新图中白点，白点是对周围几个面的平均，AB离得比CD近，所以权重大。

更新旧顶点的方法 根据自己原本的位置和自己周围顶点的位置来进行加权平均，如下所示（n是顶点度数）。

1.1.2 Loop细分结果

1.2 Catmull-Clark细分（General Mesh）

Loop细分只能解决三角形网格的细分问题，对于一般的情况可以采用Catmull-Clark细分。

1.2.1 基本概念

非四边形面（Non-quad face）：顾名思义。
奇异点（Extraordinary vertex）：度数不为4的点。

1.2.2 Catmull-Clark细分算法

1）增加新点

• 取每个面的一个点（比如重心）
• 取每个边的中点
• 将所有新添加的点做连接
  
• 在一次细分后会引入两个新的奇异点。
• 新奇异点的度数为3，其他奇异点的度数不变。
• 经过一次细分，所有非四边形面会消失。
• 细分之后，每个非四边形面都会变成一个奇异点（以后再细分奇异点和非四边形面都不会发生变化了）。

2）调整规则

对于新增的点，面上的点和边上的点位置更新规则如下：

对于旧的点：

1.2.3 Catmull-Clark细分结果

2 曲面简化

目标：减少三角形的数量并保留整体的形状。

2.1 基本概念

2.1.1 边坍缩（Collapsing An Edge）

2.1.2 二次误差度量（Quadric Error Metrics）

• 它用来表示曲面简化带来的误差的大小。
• 用局部顶点做平均效果是不好的。
• 二次误差：新的点应该使与它相关联的面的平方和达到最小。
  

2.2 通过二次误差来进行边坍缩

• 假设坍缩每一条边，然后分别得到它们的二次误差。 做为各自的分数。
• 每次都折叠分数最小的边，然后更新被影响边的分数。
• 使用贪心算法就可以得到不错的结果。
  

标签：曲面,Clark,图形学,1.2,细分,Catmull,Loop
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43399489/article/details/121440975