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数理统计置信区间总结

2021-11-21 16:58:47 作者：互联网

一单个正态总体

二两个正态总体

三（0-1）参数的区间估计

一一个正态总体

这里面取值都是上alpah 分位数

待估参数	其他参数	枢轴量的分布	双侧置信区间	单侧上限	单侧下限
u	$\sigma^2$ 已知	$Z= \frac{\bar{x}-u}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$	$\bar{x}\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}$	$\bar{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha}$	$\bar{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha}$
u	$\sigma^2$ 未知	$t=\frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$	$\bar{x}\pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)$	$\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$	$\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$
$\sigma^2$	u未知	$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$	$\begin{bmatrix} \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} ,& \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \end{bmatrix}$	$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}$	$\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha}^2(n-1)}$

例：从一批灯泡中随机选取5个灯泡做寿命测试，测得寿命

1050 1100 1120 1250 1280

设灯泡服从正态分布，求寿命的平均置信水平为0.95的单侧置信区间下限

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Nov 20 20:54:34 2021

@author: cxf
"""
import numpy as np
from scipy.stats import t
import matplotlib.pyplot as plt


class Confidence():
    
    def GetData(self):
        
        data =[1050, 1100,1120,1250,1280]
        
        x = np.arange(1,len(data)+1)
        
        plt.bar(x, data,width=0.2, label='use year')
        plt.xlabel("item ")
        plt.ylabel("year")
        plt.legend()
        plt.show()
        return data
        
    
    def __init__(self):
        self.alpha = 0.05 #置信区间为0.95
        
        
    '''
    ddof= 1为样本标准差，否则为总体标准差
    '''
    def GetConfidence(self):
        
        data = self.GetData()
        n = len(data)
        x_bar = np.mean(data)
        s = np.std(data,ddof=1)
        
        
        
        v = t.isf(self.alpha,n-1)
        print("\n 样本均值 %5.2f  ,样本标准差 %5.2f  样本个数 %d , 上alpha 分位数%5.2f "%(x_bar, s,n,v))
        low = x_bar-s/np.sqrt(n)*v
        
        print("\n 单侧置信区间下限 u %5.2f"%low)


if __name__ == "__main__":
    
    Co = Confidence()
    
    Co.GetConfidence()
=======================================

 样本均值 1160.00  ,样本标准差 99.75  样本个数 5 , 上alpha 分位数 2.13 

 单侧置信区间下限 u 1064.90

二两个正态总体

待估参数	其他参数	枢轴量的分布	双侧置信区间	单侧上限	单侧下限
u1-u2	$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 已知	$Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(u_1-u_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$	$\bar{X}-\bar{Y}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$	$\bar{X}-\bar{Y}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$	$\bar{X}-\bar{Y}-Z_{\alpha}\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}$
u1-u2	$\sigma_1=\sigma_2$ 未知	$t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(u_1-u_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t(n_1+n_2-2);S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$	$\bar{X}-\bar{Y}\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$	$\bar{X}-bar{Y}+t_{\alpha}(n_1+n_2-2)S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$	$\bar{X}-\bar{Y}-t_{\alpha}(n_1+n_2-2)*S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$
$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$	$u_1,u_2$ 未知	$F=\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)$	$\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},$	$\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)}$	$\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{\alpha}(n_1-1,n_2-1)}$

三（0-1）分布参数的区间估计

样本均值 u,方差 p(1-p)

枢轴量的分布:

$Z=\frac{n\bar{X}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0,1)$

$p_1=\frac{1}{2a}(-b-\sqrt{b^2-4ac}),p_2=\frac{1}{2a}(-b+\sqrt{b^2-4ac})$

$a = n+z_{\alpha/2}^2;b=(-2n\bar{X}+z_{\alpha}^2),c=n\bar{X}^2$

置信区间

$\begin{bmatrix} p_1 &p_2 \end{bmatrix}$

二项分布为

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。

比如KNN算法中，一般算法没有规定我们最终从N个数字里面取出来几个K数。

因为这K个数和样本欧式距离最接近，期望D(Xk)=0 ，为一个类型的。

比如样本的标签种类为5,则选择k中的随机一个样本跟数据本身的标签值p概率为

1/N。

从图1中可以看出，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: [1]

当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； [1]
当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

例子

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Nov 21 16:08:06 2021

@author: cxf
"""

import matplotlib.pyplot  as plt
import numpy as np
import scipy.misc as ms
from scipy.special  import comb ,perm

def GetP(p,m,n,cb):
    
    a = cb*np.power(p,n)*np.power(1-p,m-n)
    return a

def GetData(m,p):
    y =[]
    x = np.arange(0,m)
    
    for  n in range(m):        
         a = comb(m,n) #排列组合
         b = np.power(p,n)
         c = np.power(1.0-p,m-n)
         #print("cb ",False)
         d = a*b*c
         y.append(d)
         
         print("prob ",p)
    plt.scatter(x,y,c='r')
    plt.show()

def DrawTwo():
     a= 0
     
     GetData(100,0.2)
     
DrawTwo()

标签：总结,置信区间,plt,数理统计,np,import,单侧,data
来源： https://blog.csdn.net/chengxf2/article/details/121444691