第一章 概率论基础知识

• 机会性游戏：随即发生器（投硬币，掷骰子）

• 基本的统计方法：估计和检验

1.1 样本空间与随机事件

• 随机试验：

  • 定义（三条件）：
    1. 可重复
    2. 结果不止一个，可知一切结果
    3. 试验前不知结果，试验后可知结果
  • 案例一 选驸马（“37%”规则）
    • 目标函数：选到 b e s t best best的概率
    • 选择方法：将前 k k k个人作为样本，选出 [ 1 , k ] [1,k] [1,k]中的 m a x n maxn maxn，从 k + 1 k+1 k+1开始若有 a i > m a x n a_i>maxn ai​>maxn，便直接选择 i i i.
    • 思考计算：
      1. 若 b e s t best best在位置 i ( i > k ) i(i>k) i(i>k)，则其被选中    ⟺    [ 1 , i − 1 ] \iff[1,i-1] ⟺[1,i−1]中的 b e s t best best在 [ 1 , k ] [1,k] [1,k]中，即 p ( i ) = k i − 1 p(i)=\dfrac{k}{i-1} p(i)=i−1k​.
      2. 故 a n s = 1 n ∑ i = k + 1 n k i − 1 = − k n ln ⁡ ( k n ) ans=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=k+1}^n \dfrac{k}{i-1}=-\dfrac{k}{n}\ln(\dfrac{k}{n}) ans=n1​i=k+1∑n​i−1k​=−nk​ln(nk​).
      3. 求导得，当 k n = 1 e = 0.37 \dfrac{k}{n}=\dfrac{1}{e}=0.37 nk​=e1​=0.37时最优。
  • 案例二 检测化验问题：期望
  • 案例三 赌博问题：概率论的诞生（帕斯卡：概率法，高斯：最大似然法）

• 概率：某随机事件 A A A发生的可能性大小 P ( A ) P(A) P(A)

• 映射方式	自变量归属	研究什么
  f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b	x ∈ R x\in R x∈R	极限下的积分学和微分学
  T ( x ⃗ ) = A m × n X ⃗ n × 1 T(\vec{x})=A_{m\times n}\vec{X}_{n\times 1} T(x )=Am×n​X n×1​	x ⃗ ∈ R n \vec{x}\in R^n x ∈Rn	线性空间的线性映射
  P ( x ) P(x) P(x)	x ⊂ Ω x\subset \Omega x⊂Ω	表示某随机事件 x x x发生的可能性大小的集合函数

• 基本概念：

  1. 样本空间 Ω \Omega Ω：一个集合（不一定是实空间）

  2. 样本点：一个元素（三种表示方法：列举法，描述法，图像法）

  3. 随机事件：一个子集（只关心某些结果）

  4. 关系及运算：

     • 包含，相等，和（并），积（交）

     • 差（ A − B A-B A−B）： A A A发生而 B B B不发生

       ( A − B ) ⋃ ( B − A ) = A Δ B (A-B)\bigcup (B-A)=A{\color{red}\Delta} B (A−B)⋃(B−A)=AΔB

     • 互斥（互不相容）： A B = ∅ AB=\varnothing AB=∅

     • 互逆（互为对立）： A B = ∅ 且 A ⋃ B = Ω , B = A ˉ AB=\varnothing且A\bigcup B=\Omega,B=\bar{A} AB=∅且A⋃B=Ω,B=Aˉ

     • 德摩根公式：

       • 至少有一个发生的对立事件是都不发生： A ⋃ B ‾ = A ‾ ⋂ B ‾ \overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B} A⋃B​=A⋂B
       • 每一个都发生的对立事件是至少有一个不发生： A ⋂ B ‾ = A ‾ ⋃ B ‾ \overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B} A⋂B​=A⋃B

     • 完备事件组（有限划分）： ∀ i , j ( i ≠ j ) , A i A j = ∅ 且 ⋃ i = 1 n A i = Ω \forall i,j(i\ne j),A_iA_j=\varnothing且\bigcup\limits_{i=1}^n A_i=\Omega ∀i,j(i​=j),Ai​Aj​=∅且i=1⋃n​Ai​=Ω

       对于事件 B B B：

       • B = ∑ i = 1 n B A i B=\sum\limits_{i=1}^n BA_i B=i=1∑n​BAi​
       • 全概率公式：当 B A i ⋂ B A j = ∅ \color{red}BA_i\bigcap BA_j=\varnothing BAi​⋂BAj​=∅ 时， P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( B A i ) P(B)=\sum\limits_{i=1}^n P(BA_i) P(B)=i=1∑n​P(BAi​) （互斥事件和的概率等于概率的和）

     • 注意：

       P ( A ⋃ B ) ≠ P ( A ) + P ( B ) \color{red}P(A\bigcup B)\ne P(A)+P(B) P(A⋃B)​=P(A)+P(B)，当 A ⋂ B = ∅ A\bigcap B=\varnothing A⋂B=∅ 时成立

       P ( A ⋂ B ) = P ( A ) P ( B ) \color{red}P(A\bigcap B)= P(A)P(B) P(A⋂B)=P(A)P(B)，当 A , B A,B A,B 相互独立时成立，否则即条件概率 P ( A ⋂ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(A\bigcap B)=P(A)P(B|A) P(A⋂B)=P(A)P(B∣A)

  5. 性质：

     • 交换律，结合律，分配律
     • 对偶律（德摩根定律）： ⋃ i A i ‾ = ⋂ i A i ‾ \overline{\bigcup\limits_i A_i}=\bigcap\limits_i\overline{A_i} i⋃​Ai​​=i⋂​Ai​​， ⋂ i A i ‾ = ⋃ i A i ‾ \overline{\bigcap\limits_i A_i}=\bigcup\limits_i\overline{A_i} i⋂​Ai​​=i⋃​Ai​​

1.2 事件发生的概率

• 频率定义： f n ( A ) = # ( A ) n = ∑ i = 1 n I ( w i ∈ A ) n = k n , I ( A ) = { 1 , w i ∈ A 0 , w i ∈ A ‾ f_n(A)=\dfrac{\color{red}\#(A)}{n}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nI(w_i\in A)}{n}=\dfrac{k}{n},I(A)=\begin{cases}1,w_i\in A\\0,w_i\in \overline{A} \end{cases} fn​(A)=n#(A)​=ni=1∑n​I(wi​∈A)​=nk​,I(A)={1,wi​∈A0,wi​∈A​

• 概率 P ( A ) P(A) P(A)公理化定义：（苏联-柯尔莫哥洛夫-1933年提出）

  1. 非负性： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0\le P(A)\le 1 0≤P(A)≤1

  2. 规范性： P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1

  3. 可列可加性：两两不相容事件 A i A_i Ai​： P ( ⋃ i − 1 ∞ A i ) = ∑ i − 1 ∞ P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i-1}^\infty A_i)=\sum\limits_{i-1}^\infty P(A_i) P(i−1⋃∞​Ai​)=i−1∑∞​P(Ai​)

     注意： P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0 时， A ≠ ∅ A\ne \varnothing A​=∅ 零概率事件（不可能事件）不一定为空集

• 概率性质：

  • P ( ∅ ) = 0 , P ( Ω ) = 1 P(\varnothing)=0,P(\Omega)=1 P(∅)=0,P(Ω)=1， P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)， P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)， 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0\le P(A)\le1 0≤P(A)≤1

  • 有限可加性：若事件 A i A_i Ai​两两互斥， P ( ⋃ i − 1 n A i ) = ∑ i − 1 n P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i-1}^n A_i)=\sum\limits_{i-1}^n P(A_i) P(i−1⋃n​Ai​)=i−1∑n​P(Ai​)

  • 概率的并： P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) \color{red}P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)

  • 概率的其他表达： { P ( A − B + A B ) = P ( A ) ∵ A − B + A B = A P ( A − B ) + P ( A B ) = P ( A ) ∵ ( A − B ) ⋂ A B = ∅ \begin{cases}P(A-B+AB)=P(A) \qquad \because A-B+AB=A\\P(A-B)+P(AB)=P(A)\qquad \because(A-B)\bigcap AB=\varnothing \end{cases} {P(A−B+AB)=P(A)∵A−B+AB=AP(A−B)+P(AB)=P(A)∵(A−B)⋂AB=∅​

    ∴ P ( A ) = P ( A B ) + P ( A − B ) = P ( A B ) + P ( A − A B ) \therefore P(A)=P(AB)+P(A-B)=P(AB)+P(A-AB) ∴P(A)=P(AB)+P(A−B)=P(AB)+P(A−AB)

  • 集合的差： A − B = A B ˉ A-B=A\bar{B} A−B=ABˉ

  • 集合的并： A ⋃ B = A + ( B − A ) , A ⋃ B ⋃ C = A + ( B − A ) + ( C − ( A + B ) ) A\bigcup B=A+(B-A),A\bigcup B\bigcup C=A+(B-A)+(C-(A+B)) A⋃B=A+(B−A),A⋃B⋃C=A+(B−A)+(C−(A+B))，故 ⋃ i = 1 n A i = ∑ i = 1 n ( A i − ∑ j = 1 i − 1 A j ) \bigcup\limits_{i=1}^n A_i=\sum\limits_{i=1}^n (A_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}A_j) i=1⋃n​Ai​=i=1∑n​(Ai​−j=1∑i−1​Aj​)

1.3 等可能模型

1.3.1 古典概型

• 定义： P ( A ) = # ( A ) # ( Ω ) = k n P(A)=\dfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\dfrac{k}{n} P(A)=#(Ω)#(A)​=nk​

  1. 样本空间是有限集
  2. 每个样本点出现的可能性相同

• 计算方法：排列与组合

  • 摸球模型：一共 N N N 个球， m m m 个红球， N − m N-m N−m 个白球，随机摸球 n n n 次，计算恰好摸到 k k k 个红球的概率

    1. 有放回（二项分布）：
       p = C m k m k ( N − m ) n − k N n \color{red}p=\dfrac{C_m^km^k(N-m)^{n-k}}{N^n} p=NnCmk​mk(N−m)n−k​

    2. 无放回（超几何分布）：
       p = C m k C N − m n − k C N n \color{red}p=\dfrac{C_m^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} p=CNn​Cmk​CN−mn−k​​

  • 抽签模型（与放回无关）：一共 N N N 个球， m m m 个红球， N − m N-m N−m 个白球，依次全部摸出，摸出后无法立即知晓结果（最后统一揭晓），求第 k k k 次取出红球的概率

    1. 有放回： p = m N p=\dfrac{m}{N} p=Nm​
    2. 无放回：
       • 法1：将N个球看作不同， p = m ( N − 1 ) ! N ! = m N p=\dfrac{m(N-1)!}{N!}=\dfrac{m}{N} p=N!m(N−1)!​=Nm​
       • 法2：看作除颜色外无区别， p = C N − 1 m − 1 C N m = m N p=\dfrac{C_{N-1}^{m-1}}{C_N^m}=\dfrac{m}{N} p=CNm​CN−1m−1​​=Nm​

  例： 甲 有 n + 1 枚 硬 币 ， 乙 有 n 枚 硬 币 ， 双 方 全 部 掷 出 后 比 较 ， 求 甲 正 面 的 数 量 比 乙 正 面 的 数 量 多 的 概 率 \color{blue}甲有n+1枚硬币，乙有n枚硬币，双方全部掷出后比较，求甲正面的数量比乙正面的数量多的概率 甲有n+1枚硬币，乙有n枚硬币，双方全部掷出后比较，求甲正面的数量比乙正面的数量多的概率

  解：
  设 P ( A ) = { 甲 正 > 乙 正 } 则 P ( A ˉ ) = { 甲 正 ≤ 乙 正 } = { n + 1 − 甲 反 ≤ n − 乙 反 } = { 甲 反 > 乙 反 } ∵ P ( A ˉ ) = P ( A ) ∴ P ( A ) = 1 2 设P(A)=\{甲_正>乙_正\}\\ 则P(\bar{A})=\{甲_正\le乙_正\}=\{n+1-甲_反\le n-乙_反\}=\{甲_反>乙_反\}\\ \because P(\bar{A})=P(A) \therefore P(A)=\dfrac{1}{2} 设P(A)={甲正​>乙正​}则P(Aˉ)={甲正​≤乙正​}={n+1−甲反​≤n−乙反​}={甲反​>乙反​}∵P(Aˉ)=P(A)∴P(A)=21​

1.3.2 几何概型

从有限样本空间推广到无限样本空间

• 定义： P ( A ) = m ( A ) m ( Ω ) P(A)=\dfrac{m(A)}{m(\Omega)} P(A)=m(Ω)m(A)​，其中 Ω \Omega Ω为一般的欧氏区域（可多维）

• 性质：

  • 非负性，规范性，可列可加性

    例：考虑 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上随机投点， B B B表示点落在 ( 0 , 1 2 ) (0,\dfrac{1}{2}) (0,21​)， A n A_n An​表示点落在 [ 1 2 n + 1 , 1 2 n ) [\dfrac{1}{2^n+1},\dfrac{1}{2^n}) [2n+11​,2n1​)。于是 P ( B ) = P ( ∑ n = 1 ∞ A n ) P(B)=P(\sum\limits_{n=1}^{\color{red}\infty} A_n) P(B)=P(n=1∑∞​An​)

  • 零概率事件不一定不发生

    例：落在线上

• 会面问题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等 15 15 15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在 10 10 10点至 10 10 10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？

  答： 75 % 75\% 75%，画二维图即可

• 蒲丰（投针）问题：平面上有等距离的平行线，平行线的距离为 a ( a > 0 ) a(a>0) a(a>0)，向平面任意掷一枚长 l ( l < a ) l(l<a) l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率

  解：
  
  x 表 示 针 的 中 点 与 最 近 的 一 条 平 行 线 的 距 离 . Ω = { ( ϕ , x ) ∣ 0 ≤ x ≤ a 2 , 0 ≤ ϕ ≤ x } g = { ( ϕ , x ) ∣ x ≤ l 2 sin ⁡ ϕ , ( ϕ , x ) ∈ Ω } P ( A ) = S ( g ) S ( Ω ) = ∫ 0 π l 2 sin ⁡ ϕ    d ϕ a 2 π = 2 l a π . \color{red}x表示针的中点与最近的一条平行线的距离.\\ \Omega=\{(\phi,x)|0\le x\le\dfrac{a}{2},0\le\phi\le x \}\\ g=\{(\phi,x)|x\le\dfrac{l}{2}\sin\phi,(\phi,x)\in\Omega \}\\ P(A)=\dfrac{S(g)}{S(\Omega)}=\dfrac{\int_0^\pi\dfrac{l}{2}\sin\phi\;d\phi}{\dfrac{a}{2}\pi}=\dfrac{2l}{a\pi}. x表示针的中点与最近的一条平行线的距离.Ω={(ϕ,x)∣0≤x≤2a​,0≤ϕ≤x}g={(ϕ,x)∣x≤2l​sinϕ,(ϕ,x)∈Ω}P(A)=S(Ω)S(g)​=2a​π∫0π​2l​sinϕdϕ​=aπ2l​.

1.4 条件概率

• 定义： A , B A,B A,B两事件， P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0，称 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) \color{red}P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​为 B B B发生的条件下 A A A发生的概率。

• 性质：

  • 0 ≤ P ( A ∣ B ) ≤ 1 0\le P(A|B)\le 1 0≤P(A∣B)≤1， P ( B ∣ A ) = 1 − P ( B ˉ ∣ A ) P(B|A)=1-P(\bar{B}|A) P(B∣A)=1−P(Bˉ∣A)

  • P ( Ω ∣ A ) = 1 P(\Omega|A)=1 P(Ω∣A)=1， P ( A ) = P ( A Ω ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) P(A)=P(A\Omega)=P(AB)+P(A\bar{B}) P(A)=P(AΩ)=P(AB)+P(ABˉ)

  • 任意 i ≠ j , A i A j = ∅ i\ne j,A_iA_j=\varnothing i​=j,Ai​Aj​=∅(两两互斥)，则 P ( ⋃ i = 1 n ∣ B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ∣ B ) \color{red}P(\bigcup\limits_{i=1}^n|B)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i|B) P(i=1⋃n​∣B)=i=1∑n​P(Ai​∣B)

  • 乘法公式： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) \color{red}P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)，其中 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0

    一般情形： P ( A 1 A 2 . . . A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) . . . P ( A n ∣ A 1 A 2 . . . A n − 1 ) P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1}) P(A1​A2​...An​)=P(A1​)P(A2​∣A1​)P(A3​∣A1​A2​)...P(An​∣A1​A2​...An−1​)

  事件独立 P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(AB)=P(A)\cdot P(B) P(AB)=P(A)⋅P(B)：不是指交集为空，是指 A A A发生对 B B B发生无影响

例： 依 次 请 甲 , 乙 , 丙 三 个 同 学 回 答 一 个 问 题 , 若 前 面 的 答 对 则 停 止 , 答 错 则 由 后 面 的 回 答 . 又 知 他 们 依 次 答 对 的 概 率 分 别 为 : 0.4 , 0.6 , 0.8. ( 1 ) 求 问 题 是 由 乙 答 出 的 概 率 ( 2 ) 求 问 题 是 由 丙 答 出 的 概 率 \color{blue}依次请甲,乙,丙三个同学回答一个问题,若前面的答对则停止,答错则由后面的回答.又知他们依次答对的概率分别为:0.4,0.6,0.8.\\ \color{blue}(1)求问题是由乙答出的概率(2)求问题是由丙答出的概率 依次请甲,乙,丙三个同学回答一个问题,若前面的答对则停止,答错则由后面的回答.又知他们依次答对的概率分别为:0.4,0.6,0.8.(1)求问题是由乙答出的概率(2)求问题是由丙答出的概率

解：
设 A , B , C 分 别 表 示 问 题 由 甲 ， 乙 ， 丙 答 出 ( 1 )    P ( B ) = P ( A ˉ B ) + P ( A B ) = P ( A ˉ B ) + ∅ = P ( A ˉ ) P ( B ∣ A ˉ ) = 0.6 ⋅ 0.6 = 0.36 ( 2 )    P ( C ) = P ( A ˉ B ˉ C ) = P ( A ˉ ) P ( B ˉ ∣ A ˉ ) P ( C ∣ A ˉ B ˉ ) = 0.6 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8 = 0.192 设A,B,C分别表示问题由甲，乙，丙答出 \\ (1)\; P(B)=P(\bar{A}B)+P(AB)=P(\bar{A}B)+\varnothing=P(\bar{A})P(B|\bar{A})=0.6\cdot 0.6=0.36\\ (2)\; P(C)=P(\bar{A}\bar{B}C)=P(\bar{A})P(\bar{B}|\bar{A})P(C|\bar{A}\bar{B})=0.6\cdot 0.4\cdot 0.8=0.192 设A,B,C分别表示问题由甲，乙，丙答出(1)P(B)=P(AˉB)+P(AB)=P(AˉB)+∅=P(Aˉ)P(B∣Aˉ)=0.6⋅0.6=0.36(2)P(C)=P(AˉBˉC)=P(Aˉ)P(Bˉ∣Aˉ)P(C∣AˉBˉ)=0.6⋅0.4⋅0.8=0.192

• 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式：对于完备事件组 A i A_i Ai​，任一事件 B B B

  • 全概率公式：
    P ( B ) = P ( B ⋂ Ω ) = ∑ i = 1 n P ( B A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) . P(B)=P(B\bigcap\Omega)=\sum\limits_{i=1}^nP(BA_i)=\color{red}\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i). P(B)=P(B⋂Ω)=i=1∑n​P(BAi​)=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​).

  • 贝叶斯公式：
    P ( A i ∣ B ) = P ( A i B ) P ( B ) = P ( A i ) P ( B ∣ A i ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_i|B)=\dfrac{P(A_iB)}{P(B)}=\color{red}\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)} P(Ai​∣B)=P(B)P(Ai​B)​=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Ai​)P(B∣Ai​)​

    • 本质：计算条件概率
    • 先验概率 P ( A i ) P(A_i) P(Ai​)——统计可知；后验概率 P ( A i ∣ B ) P(A_i|B) P(Ai​∣B)——样本计算
    • 决策规则：通过比较不同的 P ( A i ∣ B ) P(A_i|B) P(Ai​∣B)可以进行决策，例 max ⁡ i { P ( A i ∣ B ) , i = 1 , 2 , . . . , n } \max\limits_i\{P(A_i|B),i=1,2,...,n\} imax​{P(Ai​∣B),i=1,2,...,n}

例：

解：
( 1 )    A i 表 明 事 件 从 甲 取 出 2 件 中 有 i 件 次 品 放 到 乙 中 则 P ( R ) = ∑ i = 0 2 P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = ∑ i = 0 2 C 5 i C 10 2 − i C 15 2 ⋅ C 3 + i 1 C 17 2 = 11 51 ( 2 )    C 表 示 事 件 两 物 品 “ 一 正 一 次 ” , C = C 1 ˉ C 2 + C 1 C 2 ˉ P ( X ) = 1 2 P ( c ) = 1 2 ( C 5 1 C 10 1 C 15 2 + C 3 1 C 12 1 C 15 2 ) ∵ P ( 甲 C 1 ˉ ) ≠ P ( 乙 C 1 ˉ ) ， 后 验 概 率 不 同 ∴ 需 要 分 母 分 子 分 开 算 分 别 取 两 个 箱 子 P ( Y ) = P ( C 1 ∣ C 2 ˉ ) = P ( C 1 C 2 ˉ ) P ( C 2 ˉ ) = P ( C 1 C 2 ˉ ) P ( C 1 ˉ ) = 1 2 ( 10 15 ⋅ 5 14 ) + 1 2 ( 12 15 ⋅ 3 14 ) 1 2 5 15 + 1 2 3 15 = 0.7679 (1)\;A_i表明事件从甲取出2件中有i件次品放到乙中\\ 则P(R)=\sum\limits_{i=0}^2 P(A_i)P(B|A_i)=\sum\limits_{i=0}^2\dfrac{C_5^iC_{10}^{2-i}}{C_{15}^2}\cdot\dfrac{C_{3+i}^1}{C_{17}^2}=\dfrac{11}{51}\\ (2)\;C表示事件两物品“一正一次”,C=\bar{C_1}C_2+C_1\bar{C_2}\\ P(X)={1\over 2}P(c)={1\over 2}\left(\dfrac{C_5^1C_{10}^1}{C_{15}^2}+\dfrac{C_3^1C_{12}^1}{C_{15}^2} \right)\\ \color{red}\because P(甲\bar{C_1})\ne P(乙\bar{C_1})，后验概率不同\therefore 需要分母分子分开算分别取两个箱子\\ P(Y)=P(C_1|\bar{C_2})=\dfrac{P(C_1\bar{C_2})}{P(\bar{C_2})}=\dfrac{P(C_1\bar{C_2})}{P(\bar{C_1})}=\dfrac{{1\over 2}({10\over 15}\cdot{5\over 14})+{1\over 2}({12\over 15}\cdot{3\over 14})}{{1\over 2}{5\over 15}+{1\over 2}{3\over 15}}=0.7679 (1)Ai​表明事件从甲取出2件中有i件次品放到乙中则P(R)=i=0∑2​P(Ai​)P(B∣Ai​)=i=0∑2​C152​C5i​C102−i​​⋅C172​C3+i1​​=5111​(2)C表示事件两物品“一正一次”,C=C1​ˉ​C2​+C1​C2​ˉ​P(X)=21​P(c)=21​(C152​C51​C101​​+C152​C31​C121​​)∵P(甲C1​ˉ​)​=P(乙C1​ˉ​)，后验概率不同∴需要分母分子分开算分别取两个箱子P(Y)=P(C1​∣C2​ˉ​)=P(C2​ˉ​)P(C1​C2​ˉ​)​=P(C1​ˉ​)P(C1​C2​ˉ​)​=21​155​+21​153​21​(1510​⋅145​)+21​(1512​⋅143​)​=0.7679

1.5 独立性与伯努利概型

1.5.1 独立性

• 定义：若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A , B A,B A,B 相互独立。( A A A 发生对 B B B 发生的概率无影响)

  本质：帮助简化乘积的概率

  • 推广：若 A , B A,B A,B 独立的前提下：

    • 若 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0，    ⟺    P ( B ∣ A ) = P ( B ) \iff P(B|A)=P(B) ⟺P(B∣A)=P(B)

    • A 与 B ˉ A与\bar{B} A与Bˉ， A ˉ 与 B ˉ , B \bar{A}与\bar{B},B Aˉ与Bˉ,B 都独立。

      证明： P ( A B ˉ ) = P ( A − A B ) = P ( A ) − P ( A B ) = P ( A ) ( 1 − P ( B ) ) = P ( A ) P ( B ˉ ) P(A\bar{B})=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\bar{B}) P(ABˉ)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)=P(A)(1−P(B))=P(A)P(Bˉ)

• 两两独立与相互独立：

  • 两两独立：对于 ∀ i , j \forall i,j ∀i,j， P ( A i A j ) = P ( A i ) P ( A j ) P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j) P(Ai​Aj​)=P(Ai​)P(Aj​).

  • 相互独立：对于 ∀ k 个 A i ( 2 ≤ k ≤ n ) \forall k个A_i(2\le k\le n) ∀k个Ai​(2≤k≤n)， P ( A i A j . . . A k ) = P ( A i ) P ( A j ) . . . P ( A k ) P(A_iA_j...A_k)=P(A_i)P(A_j)...P(A_k) P(Ai​Aj​...Ak​)=P(Ai​)P(Aj​)...P(Ak​).

    若相互独立，一定两两独立，反之不然。

• 对 重复独立的试验中，小概率事件必然发生 的理解：

  设 P ( A i ) = ξ → 0 + P(A_i)=\xi\rightarrow 0^+ P(Ai​)=ξ→0+，
  P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − P ( ⋃ i = 1 n A i ‾ ) = 1 − P ( ⋂ i = 1 n A i ‾ ) = 1 − ∏ i = 1 n P ( A i ‾ ) = 1 − ( 1 − ξ ) n → 1 P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i)=1-P(\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i})=1-P(\bigcap\limits_{i=1}^n\overline{ A_i})=1-\prod\limits_{i=1}^nP(\overline{A_i})=1-(1-\xi)^n\rightarrow 1 P(i=1⋃n​Ai​)=1−P(i=1⋃n​Ai​​)=1−P(i=1⋂n​Ai​​)=1−i=1∏n​P(Ai​​)=1−(1−ξ)n→1

• 电路应用：电路中 n n n 个元件连接，每个元件的可靠性为 r r r

  • 串联时： p ( 串 ) = r n p(串)=\color{red}r^n p(串)=rn. 并联时： p ( 并 ) = 1 − ( 1 − r ) n p(并)=\color{red}1-(1-r)^n p(并)=1−(1−r)n

  • p = p ( 中 间 坏 ) + p ( 中 间 好 ) = ( 1 − r ) ( 1 − ( 1 − r 2 ) 2 ) + r ( 1 − ( 1 − r ) 2 ) 2 p=p(中间坏)+p(中间好)=(1-r)(1-(1-r^2)^2)+r(1-(1-r)^2)^2 p=p(中间坏)+p(中间好)=(1−r)(1−(1−r2)2)+r(1−(1−r)2)2
    

1.5.2 伯努利模型

• 定义： n n n重独立实验中，只有两个实验结果“成功”( A A A)与“失败”( A ˉ \bar{A} Aˉ)。计算 A A A 出现 k k k 次的概率，称为二项分布 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X∼B(n,p) ——有放回抽样。
  P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , . . . , n P(X=k)={\color{red}C_n^kp^k(1-p)^{n-k}},\qquad k=0,1,...,n P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,...,n
  例： 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给 10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：

  ⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试验却被否定的概率．

  ⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率．

  解：
  ( 1 ) 找 前 提 ： X ∼ B ( 10 , 0 , 35 ) . 求 P ( X ≤ 3 ) ( 2 ) X ∼ B ( 10 , 0 , 25 ) . 求 P ( X ≥ 4 ) (1)找前提：X\sim B(10, 0,35). 求P(X\le 3)\\ (2) X\sim B(10, 0,25). 求P(X\ge 4) (1)找前提：X∼B(10,0,35).求P(X≤3)(2)X∼B(10,0,25).求P(X≥4)

• 多概率公式： n n n 重独立试验中，每次实验可能的结果为 A 1 , A 2 , . . . , A k A_1, A_2,...,A_k A1​,A2​,...,Ak​，且 P ( A i ) ∈ ( 0 , 1 ) , ∑ i = 1 k A i = 1 P(A_i)\in (0,1),\sum\limits_{i=1}^k A_i=1 P(Ai​)∈(0,1),i=1∑k​Ai​=1，则 A i A_i Ai​在 n n n 次试验中各发生 r i r_i ri​ 次的概率为
  ∵ C n r 1 C n − r 1 r 2 . . . C n − r 1 − r 2 − . . . − r k − 1 r k = n ! r 1 ! r 2 ! . . . r k ! ∴ P = n ! r 1 ! r 2 ! . . . r k ! p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p k r k r 1 + r 2 + . . . + r k = n . \because C_n^{r_1}C_{n-r_1}^{r_2}...C_{n-r_1-r_2-...-r_{k-1}}^{r_k}=\dfrac{n!}{r_1!r_2!...r_k!} \\ \therefore P={\color{red}\dfrac{n!}{r_1!r_2!...r_k!}p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_k^{r_k}}\qquad r_1+r_2+...+r_k=n. ∵Cnr1​​Cn−r1​r2​​...Cn−r1​−r2​−...−rk−1​rk​​=r1​!r2​!...rk​!n!​∴P=r1​!r2​!...rk​!n!​p1r1​​p2r2​​...pkrk​​r1​+r2​+...+rk​=n.

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