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线性DP

2021-11-09 21:35:45 作者：互联网

线性DP（部分）

例：aw272 LCIS

272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

思路分析:

题目是LCS与LIS的结合，那么我们显然可以结合两道经典例题的思路, 定义f[i] [j] 表示，在a[1...i] 与 b[1...j] 中出现的以B[j]为结尾的数字。

随后我们先遍历a[i]，再遍历b[j], 接下来分两种情况讨论，

①如果a[i] != b[j]，那么显然此时f[i] [j] = f[i-1] [j], 就以b[j]为结尾的情况和a[i-1]时一样。

②如果a[i] == b[j]，那么此时我们是以b[j]为结尾，我们应该从一个以小于b[j]的b[k]为结尾的最大子串转移而来，因此遍历f[i-1] [k] ，\(1\leq k\leq j-1,且b[k]<b[j]\)，取出最大的即可。

优化：

时间复杂度优化: 在寻找f[i-1] [k] 时显然我们重复查找了很多遍，并且我们发现在查找时，i是不变的, 那么对于每一层i来说，我们可以定义变量maxv，用maxv来保存1-j的最大f[i-1] [k]，如果b[j] < a[i] (需要用到maxv去更新的时候a[i] == b[j])，那么我们就更新maxv的值为max(maxv, f[i-1] [j])

代码示例：

int a[3005];
int b[3005];
int n;
int dp[3010][3010];
int main ()
{	
 	cin >> n;
 	For(i, 1, n) cin >> a[i];
 	For(i, 1, n) cin >> b[i];
 	For(i, 1, n)
 	{
 		int maxv = 0;
 		For(j, 1, n)
 		{
 			if(a[i] != b[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
 			else dp[i][j] = maxv + 1;
 			if(b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, dp[i][j]);
 		}
 	}
 	int ans = 0;
 	For(i, 1, n)
 		ans = max(ans, dp[n][i]);
 	cout << ans << endl;
	return 0;
}

空间复杂度优化：由于我们每一层的dp[i] [j]只与上一层dp[i-1]有关，因此我们可以把第一维去掉

代码示例：

int a[3005];
int b[3005];
int n;
int dp[3010];
int main ()
{	
 	cin >> n;
 	For(i, 1, n) cin >> a[i];
 	For(i, 1, n) cin >> b[i];
 	For(i, 1, n)
 	{
 		int maxv = 0;
 		For(j, 1, n)
 		{
 			if(a[i] == b[j]) dp[j] = maxv + 1;
 			if(b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, dp[j]);
 		}
 	}
 	int ans = 0;
 	For(i, 1, n)
 		ans = max(ans, dp[i]);
 	cout << ans << endl;
	return 0;
}

例：C - Monkey and Banana

思路分析：

由于我们要求最大高度，可以利用贪心的思想，从下往上让底的长和宽尽可能的大，由题意可知，一组xyz，可以生成三种积木，我们将所有种类的积木放进数组并进行排序，排序条件是长和宽要尽可能的大。随后题目变成了求最长上升子序列的题目，套模板求解即可

代码示例：

//#pragma comment(linker,   "/STACK:10240000000000,10240000000000")
//#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);++i)
#define Fod(i,b,a) for (int i=(b);i>=(a);--i)
#define mls multiset
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define pb push_back
#define pob pop_back
#define itt iterator
#define lowbit(x) x & (-x)
#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x));

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;	
using namespace std;
const int MAXN = 0x7fffffff;
const int MOD = 1000000007;
struct node
{
	int x, y, z;
	bool operator < (const node &t) const
	{
		if(x == t.x) return y < t.y;
		return x < t.x;
	}
};
vector <node> v;
void add(int x, int y, int z)
{
	node t;
	t.x = x, t.y = y, t.z = z;
	v.push_back(t);
}
int f[10000];
int main ()
{	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	int n;
	int cnt = 0;
	while(cin >> n, n)
	{
		cnt++;
		clr(f);
		v.clear();
		int x, y, z;
		For(i, 1, n) 
		{
			cin >> x >> y >> z;
			add(x, y, z);
			add(x, z, y);
			add(y, z, x);
			add(y, x, z);
			add(z, x, y);
			add(z, y, x);
		}
		sort(v.begin(), v.end());

		int k = v.size();
		for(int i = 0; i < k; i ++)
		{
			f[i] = v[i].z;
			for(int j = 0; j <= i - 1; j ++)
			{
				if(v[j].x < v[i].x && v[j].y < v[i].y)
					f[i] = max(f[i], f[j] + v[i].z);
			}
		}
		int ans = 0;
		For(i, 0, k-1) ans = max(ans, f[i]);
		printf("Case %d: maximum height = %d\n", cnt, ans);
	}
	return 0;
}

标签：int,maxv,cin,add,DP,线性,dp,define
来源： https://www.cnblogs.com/yramvj/p/15531029.html