LOJ6089 小 Y 的背包计数问题 题解

题意略

题解：

这种奇怪背包，并且考虑到当 \(i>\sqrt{n}\) 时可以转化成完全背包。所以考虑根号分治，对 \(i\le\sqrt{n}\) 和大于的分别算出答案。

• \(i\le\sqrt{n}\)

如果直接做多重背包还是不太行。

考虑这是一个计数型的背包，所以先当成完全背包做后减去不合法的方案即可： \(f_{j}\leftarrow f_{j}-f_{j-i(i+1)}\) 。

• \(i>\sqrt{n}\)

一个转移的套路：由于最多能装 \(\sqrt{n}\) 个物品，所以设 \(g(i,j)\) 为 \(i\) 个物品，大小为 \(j\) 的方案数。

为了保证不算重，有两种转移：一是新加入一个大小为 \(\sqrt{n}+1\) 的物品（目前最小的物品）。

另一种是将所有物品的大小加一。显然所有方案都可以恰好被这两种转移表示。

时间复杂度： \(O(n\sqrt{n})\) 。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=320,mod=23333333;
int n,m,ans,f[N],s[N],g[M][N];
signed main(){
	scanf("%d",&n);m=sqrt(n);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++) (f[j]+=f[j-i])%=mod;
		for(int j=n;j>=i*(i+1);j--) (f[j]+=mod-f[j-i*(i+1)])%=mod;
	}
	g[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=m;i++) for(int j=0;j<=n;j++){
		(s[j]+=g[i][j])%=mod;
		if(j+m+1<=n) (g[i+1][j+m+1]+=g[i][j])%=mod;
		if(j+i<=n) (g[i][j+i]+=g[i][j])%=mod;	
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) (ans+=1ll*f[i]*s[n-i]%mod)%=mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

标签：背包,int,题解,LOJ6089,sqrt,物品,计数问题,mod
来源： https://www.cnblogs.com/shrshrshr/p/15525605.html