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第九章矩阵博弈

2021-11-08 11:02:18 作者：互联网

1. 知识储备

1.1 零和博弈（zero-sum game）

零和博弈（zero-sum game），又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈。
它是指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能。

1.2 矩阵博弈

两人零和博弈描述了两人严格竞争情形。矩阵博弈(matrix games)是伴随有限策略集的两人零和博弈。
最小最大值定理(minimax theorem), 表明每个矩阵博弈都有混合策略纳什均衡。

在这里插入图片描述

2. 正文【矩阵博弈】

在本章中，我们仅讨论有限策略集的两人零和博弈。假设 S 1 = { s 11 , s 12 , … , s 1 m } ， S 2 = { s 21 , s 22 ， ⋅ ⋅ ⋅ , s 2 n } S_1=\{s_{11},s_{12}, …, s_{1m}\} ，S_2=\{s_{21}, s_{22}，···,s_{2n}\} S1={s11,s12,…,s1m}，S2={s21,s22，⋅⋅⋅,s2n}。

在不至于混淆的情形下，我们从现在起使用符号 S 1 = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , m , S 2 = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n S_1= {1, 2, ···,m}, S_2={1, 2, ···, n} S1=1,2,⋅⋅⋅,m,S2=1,2,⋅⋅⋅,n [注意，不要将这里的n与本书其他地方的n(代表参与博弈的人数）相混淆］。

由于一个参与人的收益正好是另外一人收益的相反数，这些博弈可用含有 m 行和 n 列的矩阵A表示，其中 a i j = u 1 ( i , j ) , ∀ i ∈ S 1 , ∀ j ∈ S 2 a_{ij}=u_1 (i, j), \forall i \in S_1,\forall j \in S_2 aij=u1(i,j),∀i∈S1,∀j∈S2. 这个数是当参与人1 (行参与人）选择策略 i i i 且参与人2 (列参与人）选择策略 j j j 时的收益，此时参与人 2的收益为 − a i j -a_{ij} −aij;。因此，这样的博弈也称为矩阵博弈。

2.1 矩阵博弈案例

2.1.1 硬币问题

硬币问题，参与人各抛一枚硬币，然后进行配对，配对成功(同为正或同为反)参与人 1 得一块钱，反之，参与人 2 得一块钱
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2.1.2 石头剪刀布问题

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2.1.3 产品预测问题

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2.1.4 零和博弈的问题

收益之和为常数的一个博弈

零和博弈的一个直接推广就是收益之和为常数的博弈： < 1 , 2 ， S i ， S 2 ， u 1 ， u 2 > <{ 1, 2} ，S_i ， S_2 ， u_1 ， u_2> <1,2，Si，S2，u1，u2> 使得 u 1 ( s 1 , s 2 ) + u 2 ( s 1 , s 2 ) = C u_1 (s_1, s_2 )+u_2(s_1, s_2 )=C u1(s1,s2)+u2(s1,s2)=C, 其中 C 是一个已知常数。
给定任何一个收益之和为常数的博弈，我们都可以通过简单变换（比如，将每个参与人的每个收益减去该常数），把它变为一个零和博弈，从而将其作为零和博弈进行分析。

2.2 矩阵博弈中的纯策略

2.2.1 介绍

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类似地，当列参与入选择纯策略 j j j 时，他保证他的收益等于

也就是说，列参与人保证自己的损失不大与

于是，列参与人的最优策略是使得这个损失最小：
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这称为最小最大化(mirunaximization)。列参与人的这种策略称为他的安全策略(security strategy)。