事件的独立性
作者:互联网
事件的独立性
在学习了条件概率之后,那就不得不提到事件独立性了。
我们先来看一个例子
例子1
记 A 1 : 第 一 颗 骰 子 掷 出 6 点 。 记 A 2 : 第 二 颗 骰 子 掷 出 2 点 。 \large{记A_1:第一颗骰子掷出6点。}\\ \large{记A_2:第二颗骰子掷出2点。} 记A1:第一颗骰子掷出6点。记A2:第二颗骰子掷出2点。
这个事件一看就非常的独立是吧,我下一次投的骰子跟上一次怎么会有关系呢?因此在这2个事件独立的情况下,我们可以这样写 P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) P(A_2|A_1)=P(A_2) P(A2∣A1)=P(A2)
我们再拿出我们熟悉的条件概率公式 P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 A 1 ) P ( A 1 ) \displaystyle P(A_2|A_1)=\frac{P(A_2A_1)}{P(A_1)} P(A2∣A1)=P(A1)P(A2A1)
是不是可以写成这样呢?
P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) = P ( A 2 A 1 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 1 ) = P ( A 2 A 1 ) P(A_2|A_1)=P(A_2)=\displaystyle \frac{P(A_2A_1)}{P(A_1)}\\ P(A_2)P(A_1)=P(A_2A_1) P(A2∣A1)=P(A2)=P(A1)P(A2A1)P(A2)P(A1)=P(A2A1)
由此得出了事件独立的定义
两个事件相互独立
当 A A A, B B B是两个事件,如果具有等式: P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A A A, B B B相互独立。
说明:
- 设 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0则 A A A与 B B B相互独立 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A|B)=P(A) P(A∣B)=P(A)
- 设 A A A, B B B相互独立。则 A A A与 B ‾ \overline{B} B, A ‾ \overline{A} A与 B B B, A ‾ \overline{A} A与 B ‾ \overline{B} B相互独立
下面咱们还要讨论一个独立和相容之间的概念。
来继续看抽牌问题来讨论
现有一副不含大、小王的扑克牌,在洗牌后随机抽取一张。
- “这张牌是黑桃”与“这张牌是K”是否相互独立?
- “这张牌是黑桃”与“这张牌是红桃”是否相互独立?
(1) 记 事 件 A : 这 张 牌 是 黑 桃 B : 这 张 牌 是 K 。 由 古 典 概 型 易 知 : P ( A ) = 1 4 P ( C ) = 1 13 P ( A B ) = 1 52 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , 所 以 A 与 B 相 互 独 立 。 记事件A:这张牌是黑桃{\quad}B:这张牌是K。\\ 由古典概型易知:\\ P(A)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad}P(C)=\displaystyle{\frac{1}{13}}{\quad}P(AB)=\displaystyle{\frac{1}{52}}\\ P(AB)= P(A)P(B),所以A与B相互独立。 记事件A:这张牌是黑桃B:这张牌是K。由古典概型易知:P(A)=41P(C)=131P(AB)=521P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立。
(2) 记 事 件 A : 这 张 牌 是 黑 桃 C : 这 张 牌 是 红 桃 . 由 古 典 概 型 易 知 : P ( A ) = 1 4 P ( C ) = 1 4 P ( A C ) = 0 ∴ P ( A C ) ≠ P ( A ) P ( C ) , 所 以 A 与 B 不 相 互 独 立 . 记事件A:这张牌是黑桃{\quad}C:这张牌是红桃.\\ 由古典概型易知:\\ P(A)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad}P(C)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad} P(AC)=0\\ \therefore P(AC){\neq}P(A)P(C),所以A与B不相互独立. 记事件A:这张牌是黑桃C:这张牌是红桃.由古典概型易知:P(A)=41P(C)=41P(AC)=0∴P(AC)=P(A)P(C),所以A与B不相互独立.
由此可得
P
(
A
)
P
(
C
)
>
0
P(A)P(C)>0
P(A)P(C)>0时,若
A
,
C
A,C
A,C不相容,则
A
,
C
A,C
A,C非
相互独立的。
P
(
A
)
P
(
C
)
>
0
P(A)P(C)>0
P(A)P(C)>0时,若
A
,
C
A,C
A,C相互独立,则
A
,
C
A,C
A,C非
不相容.
但是这2个结论非常的绕啊,我是看了好久没太明白的
标签:独立性,独立,A1,A2,事件,相互,100 来源: https://blog.csdn.net/qq_40710190/article/details/121140203