牛顿法 防混淆 总结

1） 牛顿法（最初，求的是根）
目的： 求 f(x）=0 的根

途径：
一元非线性方程 f(x)=0 为例，
对函数 f(x) 在 x0 处进行Taylor级数展开

f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x) ----(忽略o(x) 高次项 ）

所以方程可写成

 f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0    => x = x0 - f(x0) / f'(x0)
 令x1=x.     

是相比之前的x0更靠近真实解了. Why？ 见下图。
用过两点 (x0,f(x0), (x1,0) 的直线代替f(x). 图上可见
x1,比x0 更加接近x*（最佳值）。

因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。所以，对于一元非线性方程，牛顿法的迭代公式为：
x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f’(x(k))
（代码实现，网上太多，。。。）

2） 牛顿法（一般，求的是最小值）
目的： 求 f(x）=0 的根
途径：
一元非线性方程 f(x)=0 为例，
对函数 f(x) 在 x0 处进行Taylor级数展开

f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2*f''(x0)(x-x0)^2+o(x) ----(忽略o(x) 高次项 ）

求f(x)有：

f'(x)=0+f'(x0)+f"(x0)(x-x0)
而：f'(x)=0
所以：x-x0=-f'(x0)/f"(x0)  =>x=x0--f'(x0)/f"(x0)
令x=x1.
所以 x(k+1) = x(k) - f'(x(k)) / f''(x(k)) 

对于多元：可以写成:

 x(k+1) = x(k) - ∇f / ∇² f

3） 高斯牛顿法（一般，∇² f 不好求，所以用高斯牛顿法）

对于一个非线性最小二乘问题：

高斯牛顿的思想是把 [公式] 利用泰勒展开，取一阶线性项近似。

带入到(1)式：

对上式求导，令导数为0。

令
有：

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来源： https://blog.csdn.net/flyso_80/article/details/121127137