全概率公式和贝叶斯公式

一、完备事件组

设E是随机试验，Ω是相应的样本空间，A1，A2，...An为Ω的一个事件组，若

（1）AiAj=（ij）

（2）A1A2...An=Ω

则称A1A2...An为样本空间的一个完备事件组，完备事件组完成了对样本空间的一个分割（意义）

二、全概率公式

完备事件组条件下，因为B=ΩB，所以有PB=P(Ai)P(BAi)

三、贝叶斯公式

由条件概率的定义P(Ai I B) = P（AiB）/P（B）

然后分子用乘法公式、分母用全概率得

P(AiB)=P(Ai)P(B I Ai)  ,  P(B)=P(Ai)P(B I Ai)

得P(Ai I B) = P(Ai)P(B I Ai)/P(Ai)P(B I Ai)

四、全概率和贝叶斯公式的区别

全概率公式：通过已知每种"原因"发生的概率，求"结果"发生的概率，"原因"发生的概率称为"先验概率"，即"已知原因，分析结果"。

贝叶斯公式：从已知"结果"发生的条件下分析各个"原因"引起的条件概率，这个条件概率称为"后验概率"，即"已知结果，分析原因"。

在使用全概率公式时，关键是写出事件B发生的各个原因Ai及相应的先验概率P(Ai）和条件概率P（B I Ai）。

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