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条件概率和事件的相互独立性

2021-11-03 18:03:50 作者：互联网

一、条件概率

在事件A发生的条件下事件B发生的概率

P（BIA）= P（AB）/P（A）

条件概率满足概率的公理化定义的三条基本性质（非负性、规范性、可列可加性）

设P（A）> 0，则：

（1）非负性公理：对于任意事件B，总有P（BIA）≥0

（2）规范性公理：P（ΩIA）=1

（3）可列可加性公理：两两互不相容的事假，有P（ $\bigcup_{i=1}^{\infty }$ Ai I B）= $\sum_{i=1}^{\infty }$ P（Ai I B）

△概率的六条性质对于条件概率也适用，但要在同一条件下进行

概率的乘法公式：条件概率的分母调到另一边即可。推广如下：

P( $_{An...A2A1}$ )=P( $_{An\mid An-1...A2A1}$ )...P( $_{A3\mid A2A1}$ )P( $_{A2\mid A1}$ )P( $_{A1}$ ),其中A1，A2...An为一事件组，且P（ $_{An-1...A2A1}$ ）＞0

二、事件的相互独立性

条件概率的特殊情况，即A、B两事件无关时，事件相互独立

公式推导：条件概率下P(B $\mid$ A) $\neq$ P（B），事件独立下P（B $\mid$ A）=P（B），所以事件相互独立下有P（AB）=P（A）P（B $\mid$ A）=P（A）P（B），此时称事件A、B相互独立，简称A、B独立

定理：事件A与事件B相互独立，下列事件也相互独立：A与 $\overline{B}$ ， $\overline{A}$ 与B， $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$

定义：A、B、C是试验E的三个事件，如果有P(AB)=P(A)P(B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），则A、B、C两两相互独立

定义：A、B、C是试验E的三个事件，如果有P(AB)=P(A)P(B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），且P（ABC）=P（A）P（B）P（C）则A、B、C相互独立

从上面两个定义可以看出：在n个事件中，对于其中任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称这n个事件两两相互独立；如果对于其中任意两个，三个...n个事件的积事件的概率等于各个事件概率的积，则称这n个事件相互独立。

标签：概率,独立性,独立,AB,事件,条件,相互
来源： https://blog.csdn.net/m0_62722599/article/details/121125651