关系的特殊性质及其闭包

特殊性质

	自反关系	反自反关系	对称关系	反对称关系	传递关系
内容
充要条件	I X ⊆ R I_X\subseteq R IX​⊆R	R ∩ I X = ∅ R\cap I_X=\empty R∩IX​=∅	R − 1 = R R^{-1}=R R−1=R	R ∩ R − 1 ⊆ I X R\cap R^{-1}\subseteq I_X R∩R−1⊆IX​	R 2 ⊆ R R^2\subseteq R R2⊆R
关系矩阵	对角线全为 1 1 1	对角线全为 0 0 0	对称	任意两个相互对称的位置上至少有一个 0 0 0
备注					可以推出 ∀ n ∈ Z + , R n ⊆ R \forall n\in Z^+,R^n\subseteq R ∀n∈Z+,Rn⊆R

闭包

设 R R R是 X X X上的关系， P P P是某种关系的性质。包含 R R R的、具有性质 P P P的、 X X X上的最小关系为 R R R的 P P P闭包，记为 R P R^P RP.

条件

1. R ⊆ R P R\subseteq R^P R⊆RP
2. R P R^P RP具有性质 P P P
3. ∀ X \forall X ∀X上的具有性质 P P P的关系 R ′ R' R′，若 R ⊆ R ′ R\subseteq R' R⊆R′，则 R P ⊆ R ′ R^P\subseteq R' RP⊆R′.

三个特殊闭包

自反闭包

r ( R ) = R ∪ I X r(R)=R\cup I_X r(R)=R∪IX​

对称闭包

s ( R ) = R ∪ R − 1 s(R)=R\cup R^{-1} s(R)=R∪R−1

传递闭包

t ( R ) = ⋃ n ∈ N R n t(R)=\bigcup_{n\in N} R^n t(R)=⋃n∈N​Rn

推论

若 ∣ X ∣ = n |X|=n ∣X∣=n，则 t ( R ) = ⋃ m = 1 n R n t(R)=\bigcup_{m=1}^n R^n t(R)=⋃m=1n​Rn

关系矩阵

M t ( r ) = M R ∨ M R 2 ∨ ⋯ ∨ M R n M_{t(r)}=M_R \vee M_{R^2} \vee \cdots \vee M_{R^n} Mt(r)​=MR​∨MR2​∨⋯∨MRn​

等价关系和划分

等价关系和等价类

集合 X X X上自反、对称且传递的关系称为 X X X上的等价关系。

设 R R R是 X X X上的等价关系， x ∈ X x\in X x∈X，定义 X X X的子集
[ x ] R = { y ∣ y ∈ X , 且 y R x } [x]_R=\{y|y\in X,且yRx\} [x]R​={y∣y∈X,且yRx}
称 [ x ] R [x]_R [x]R​为 x x x（关于 R R R）的等价类， x x x为等价类 [ x ] R [x]_R [x]R​的代表元。

也就是说， x ( ∈ X ) x(\in X) x(∈X)的等价类 [ x ] R [x]_R [x]R​由 X X X中所有与 x x x等价的元素组成。

性质

1. 若 ( x , y ) ∈ R (x,y)\in R (x,y)∈R，则 [ x ] R = [ y ] R [x]_R=[y]_R [x]R​=[y]R​

   x , y x,y x,y同样具有关系 R R R

   • 任意等价类中的任意一个元素都可以作为该等价类的代表元

2. 若 ( x , y ) ∉ R (x,y)\notin R (x,y)∈/​R，则 [ x ] R ∩ [ y ] R = ∅ [x]_R\cap [y]_R=\empty [x]R​∩[y]R​=∅

   • 任意两个等价类要么相等要么没有公共元素

3. ⋃ z ∈ X [ z ] R = X \bigcup_{z\in X}[z]_R=X ⋃z∈X​[z]R​=X

   • 等价类是由所有那些相互等价的元素组成的，且其外的元素都不与其中的元素等价

商集

X X X上关于 R R R的所有等价类组成的集合称为 X X X关于 R R R的商集，记为 X / R X/R X/R，即
X / R = { [ x ] R ∣ x ∈ X } X/R=\{[x]_R|x\in X\} X/R={[x]R​∣x∈X}

划分

设 π \pi π是集合 X X X的非空子集的集合（ π ⊆ P ( X ) \pi\subseteq P(X) π⊆P(X) ），满足

• ∀ A , B ∈ π , A = B 或 A ∩ B = ∅ \forall A,B\in \pi,A=B或A\cap B=\empty ∀A,B∈π,A=B或A∩B=∅
• ⋃ A ∈ π = X \bigcup_{A\in\pi}=X ⋃A∈π​=X

则称 π \pi π是 X X X的划分， π \pi π中的元素称为该划分的划分块。

划分和等价关系

等价关系和划分可以相互导出。

性质

1. 设 R R R是 X X X上的等价关系，那么商集 X / R X/R X/R是 X X X的划分

   记由 R R R导出的划分 X / R X/R X/R为 π R \pi_R πR​

2. 设 π \pi π是集合 X X X的划分，则关系
   R = { ( x , y ) ∣ x , y 同 属 于 π 的 一 个 划 分 块 } R=\{(x,y)|x,y同属于\pi的一个划分块\} R={(x,y)∣x,y同属于π的一个划分块}
   则 R R R是 X X X上的等价关系。

   这样导出的 R R R记为 R π R_{\pi} Rπ​

推论

R = R π R , π = π R π R=R_{\pi_R},\quad \pi=\pi_{R_{\pi}} R=RπR​​,π=πRπ​​

所以本质上，等价关系和划分描述的是同一件事情的两个方面。

证明

π R = X / R ; R π R = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ [ u ] R } ⇒ ( x , y ) ∈ R \pi_R=X/R;R_{\pi_R}=\{(x,y)|x,y\in[u]_R\}\Rightarrow (x,y)\in R πR​=X/R;RπR​​={(x,y)∣x,y∈[u]R​}⇒(x,y)∈R

偏序关系

集合 X X X上自反、反对称和传递的关系称为 X X X上的偏序关系（偏序），又称部分序关系（部分序）。

• 通常用 ≤ \leq ≤表示 x x x和 y y y满足这种偏序关系
• x < y x<y x<y表示 x ≤ y x\leq y x≤y且 x ≠ y x\neq y x​=y，这时称 x x x在 y y y的前面或 y y y在 x x x的后面

全序关系

若" ≤ \leq ≤"是 X X X上的偏序，且对于 X X X中的任意两个元素 x , y x,y x,y， x ≤ y x\leq y x≤y和 y ≤ x y\leq x y≤x总有一个成立（可比较），则称“ ≤ \leq ≤”为 X X X上的全序关系（全序）。

偏序集

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)

若 ≤ \leq ≤是全序，则上述标记为全序集。

哈斯图

有限偏序集可以直观地表示为哈斯图。

覆盖

设 ( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)是偏序集，对于任意的 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X，若 x < y x<y x<y，且不存在 z z z，使得 x < z < y x<z<y x<z<y，则称 y y y覆盖 x x x，或称 y y y是 x x x的直接后继。

哈斯图

规定结点 x , y x,y x,y之间有箭头当且仅当 y y y覆盖 x x x，且 y y y位于 x x x的上方。

全序集的哈斯图是一条直线。

性质

最大元和最小元

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来源： https://blog.csdn.net/rd142857/article/details/121074720