从恒定状态出发，求解未知状态
作者：互联网
许多问题都是拥有一个恒定的状态，从这个状态进行演化、转移，产生性质相同，规模更小的子问题。于是我们以此入手，分析出那个恒定的状态与权值，再看如何进行转移产生另一个子问题的解.
例如下面这个题:
中位数问题
给出一个长度为N的非负整数序列A_i，对于所有1 < = k < = (N + 1) / 2， 输出前1,3,5,…个数的中位数。
Input
第1行为一个正整数N，表示了序列长度。 N<=10^5
第2行包含N个整数A_i (-10^9 < = A_i < = 10^9)
Output
如题所示。
输入数据 1
7
5 7 8 2 3 1 9
输出数据 1
5
7
5
5
题解：
就本题的本质来说，就是求一些数字的中位数。如果只是求一次中位数的话，很简单，快速一下即可，时间复杂度为O(N*Log2N)，当然如果你对快排理解得够深刻，可以写到O(N).
但本题是多次求中位数，而且是前1，3，5，7，9……个数字的中位数，这明显是一个公差为2的等差数列。经过分析可得到
1：对于一个升序的数列，如果每次给它插入或减少2个数字，中位数所位的位置只会发生一个位置的偏移，或者不变。以减少为例来说，如果减少的2个数字，一个在中位数位置的左边，一个在右边，则中位数位置不变；如果2个均在中位数位置的左边，则中位数右移一位，反之则左移一位。
2：由于本题是事先就给出所有的数字，属于离线询问，所以对于原数列，经过一次快排，我们可根据中位数的定义知道其位置，进而知道其权值。
3：根据上一条所推出来的恒定的量，我们分析下接下来要解决的问题：求前5个数字的中位数。很明显，我们只需要从排序的数列中去掉最后2个数字即可，产生的后果如第1条所分析。当然此时我们应能做到快速找到去掉的这2个数字在升序数列中的位置，根据其位置与中位数位置的关系进行相应的处理。
4：得到相应结果，我们必须从升序数列中去掉刚才那2个数字，不难发现此题需要不断的删除元素，于是采用链表结构进行处理。
5：不断执行上叙步骤，得到所有的解，然后进行输出即可
代码如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int b[20000],ans[20000],v[20000];
struct node {
int last,next,c,p;
} a[200000];
bool cmp(node x,node y) {
if (x.c==y.c)
return x.p<y.p;
else
return x.c<y.c;
}
int main() {
int t;
int n,p,ss=0,sl=0,sr=0,s,sx;
scanf("%d",&n);
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&b[i]);
a[i].c=b[i];
a[i].p=i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
for (int i=1; i<=n; i++) {
a[i].last=i-1; //第i个元素左边是i-1
a[i].next=i+1; //右边是i+1
v[a[i].p]=i;
}
s=a[n/2+1].c; //权值
sx=n/2+1; //位置
if (n%2==0)
ans[++ss]=(a[n/2].c+a[n/2+1].c)/2;
else
ans[++ss]=a[n/2+1].c;
for (int i=n; i>1; i-=2)
//v[i]代表读入的第i个数字，它在链表中的位置是多少
{
if (v[i]<sx&&v[i-1]>sx||v[i]>sx&&v[i-1]<sx)
//加入的两个位置，一个大于sx,一个小于则中位数不变
{
ans[++ss]=a[sx].c;
} else if (v[i]<=sx&&v[i-1]<=sx)
//加入的两个位置，均小于等于sx,则中位数右移一下
{
sx=a[sx].next;
ans[++ss]=a[sx].c;
} else {
sx=a[sx].last;
ans[++ss]=a[sx].c;
}
int x=a[v[i]].last,y=a[v[i]].next;
//x......i.....y ,删去i这个元素
a[y].last=x;
a[x].next=y;
x=a[v[i-1]].last;
y=a[v[i-1]].next;
//删去i-1这个元素
a[y].last=x;
a[x].next=y;
}
for (int i=ss; i>0; i--)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
例题2：Ksum
给你一个长度为n的一个正整数数组，于是这个数列有n(n+1)/2个子段 现在求出了这n(n+1)/2个子段之和，并降序排序，请问前K个数是多少。
Input
第一行包含两个整数 n 和 k。 接下来一行包含 n 个正整数，代表数组。 ai≤10^9 k≤n(n+1)/2, n≤100000,k≤100000
Output
输出 k 个数，代表降序之后的前 k 个数，用空格隔开
输入数据 1
3 4
1 3 4
输出数据 1
8 7 4 4
通过分析不难得出
1：整个数列的最大值明显为所有数字之和，即数字区间【1..N】
2：现在希望得到权值第2大的区间和，明显应该将区间【1..N】的左端点1右移1位，或右端点N左移1位，产生于两个子区间【1..N-1】和【2..N】。但它们两个的权值，哪一个更大一些呢？没事，丢到堆中即可。
3：接着对衍生出来的两个子区间【1..N-1】和【2..N】继续衍生，会发现区间【2..N-1】会被衍生出来2次。我们可以强行去掉其中的一个，保留另一个。于是规定对于某个区间
【L，R】只有当R=N时，才允许其左边界向右移动。最终可得到以下衍生图：
代码如下：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
struct node {
int l,r;
long long s;
} t,z;
int n,k,a[100010];
long long s;
priority_queue<node> q;
bool operator <(node a,node b) {
return a.s<b.s;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
s+=a[i];
}
t.s=s;
t.l=1;
t.r=n;
q.push(t);
for(int i=1; i<=k; i++)
{
t=q.top();
q.pop();
printf("%lld ",t.s);
z.l=t.l;
z.r=t.r-1;
z.s=t.s-a[t.r];
q.push(z);
if(t.r==n) {
z.l=t.l+1;
z.r=t.r;
z.s=t.s-a[t.l];
q.push(z);
}
}
return 0;
}
邻值查找
给定一个长度为 n 的序列 A，A 中的数各不相同。对于 A 中的每一个数 Ai，求：
min|Ai−Aj|，其中1≤j<i
以及令上式取到最小值的 j（记为 Pi）。若最小值点不唯一，则选择使 Aj 较小的那个。
输入格式
第一行输入整数n，代表序列长度。
第二行输入n个整数A1…An,代表序列的具体数值，数值之间用空格隔开。
输出格式
输出共n-1行，每行输出两个整数，数值之间用空格隔开。
分别表示当i取2~n时，对应的min|Ai−Aj|和Pi的值。
数据范围
n≤10^5，|Ai|≤10^9
输入样例：
3
1 5 3
输出样例：
4 1 //对于5来说，在它左边并与其差的绝对值最小的是1，差值为4
2 1 //对于3来说，在它左边并与其差的绝对值最小的是5，差值为2
题解：
观察可得，既要快速找到某元素左右两边的元素，又要高效的删除任一个元素，采用链表进行存储再合适不过了。于是按照上面的思路，维持一个从小到大排序的链表，先找到原始下标最大的结点，向其左右结点求取离它最近的元素，之后删去该结点，重新接上链表，重复该过程即可。一开始排序消耗的时间复杂度是O（nlogn），链表的单次操作时间复杂度是O（1），总的时间复杂度为O（nlogn）。当然，也可以使用STL现成的容器set来解决本题，可以在对数的时间内找到离某元素最近的元素，总的时间复杂度也为O（nlogn）。
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> PII;
const int maxn = 100010;
int n,l[maxn],r[maxn],p[maxn];
PII a[maxn],ans[maxn];
int main() {
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin>>a[i].first;
a[i].second = i;
}
sort(a + 1, a + n + 1);
a[0].first = -3e9,a[n + 1].first = 3e9;
//哨兵结点，头尾结点
for(int i = 1; i <= n; i++) {
l[i] = i - 1,r[i] = i + 1;
p[a[i].second] = i;
}
for(int i = n; i > 1; i--)
{
int j = p[i],left = l[j],right = r[j];
ll left_value = abs(a[left].first - a[j].first);
ll right_value = abs(a[right].first - a[j].first);
if(left_value <= right_value)
ans[i] = {left_value,a[left].second};
else
ans[i] = {right_value,a[right].second};
l[right] = left,r[left] = right;
}
for(int i = 2; i <= n; i++)
cout<<ans[i].first<<" "<<ans[i].second<<endl;
return 0;
}
上述诸题均还有其它方法进行求解，在此不再赘述，但本文所担的思维方式，在计算机许多算法中都有体现，例如dijkstra求最短路，背包算法等等。
算法的其实就是在不断的从一个开始状态出发，进行状态的转移，只是这个转移过程，我们可以通过许多方法与手段让它更快一些罢了。。
标签：状态,sx,求解,int,中位数,恒定,ans,include,left 来源： https://www.cnblogs.com/cutemush/p/15477794.html