状态压缩DP专题
作者：互联网
状态压缩动态规划（简称状压\(dp\)）是另一类非常典型的动态规划，通常使用在\(NP\)问题的小规模求解中，虽然是指数级别的复杂度，但速度比搜索快，其思想非常值得借鉴。
一、位运算相关知识
为了更好的理解状压\(dp\)，首先介绍位运算相关的知识。
1.&符号，\(x\&y\)，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) & \(2(10)=2(10)\)。
2.|符号，\(x\)|\(y\)，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) | \(2(10)=3(11)\)。
3.\(\wedge\)符号，\(x\)^\(y\)，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如\(3(11)\) ^ \(2(10)=1(01)\)。
4.<<符号，左移操作，\(x<<2\)，将\(x\)在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用\(0\)填充，\(x<<2\)相当于让\(x\)乘以\(4\)。相应的，’\(>>\)’是右移操作，\(x>>1\)相当于给\(x/2\)，去掉\(x\)二进制下的最有一位。
这四种运算在状压\(dp\)中有着广泛的应用，常见的应用如下：
1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。
if(((1<<(i-1))&x)> 0){
}
将\(1\)左移\(i-1\)位，相当于制造了一个只有第\(i\)位上是\(1\)，其他位上都是\(0\)的二进制数。然后与\(x\)做与运算，如果结果>\(0\)，说明\(x\)第\(i\)位上是\(1\)，反之则是\(0\)。
2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。
x = x | (1<<(i-1))
3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。
x=x & (x-1)
二、例题讲解
位运算在状压\(dp\)中用途十分广泛，请看下面的例题。
【例1】有一个\(N*M\)(\(N<=5,M<=1000\))的棋盘，现在有\(1*2\)及\(2*1\)的小木块无数个，要盖满整个棋盘，有多少种方式？答案需要\(mod\) \(1,000,000,007\)。
例如：对于一个\(2*2\)的棋盘，有两种方法，一种是使用\(2\)个\(1*2\)的，一种是使用\(2\)个\(2*1\)的。
【算法分析】
在这道题目中,\(N\)和\(M\)的范围本应该是一样的，但实际上，\(N\)和\(M\)的范围却差别甚远，对于这种题目，首先应该想到的就是，正确算法与这两个范围有关！\(N\)的范围特别小，因此可以考虑使用状态压缩动态规划的思想，请看下面的图：
假设第一列已经填满，则第二列的摆设方式，只与第一列对第二列的影响有关。同理，第三列的摆设方式也只与第二列对它的影响有关。那么，使用一个长度为\(N\)的二进制数\(state\)来表示这个影响，例如：\(4(00100)\)就表示了图上第二列的状态。
因此，本题的状态可以这样表示：
dp[i][state]表示该填充第i列，第i-1列对它的影响是state的时候的方法数。i<=M,0<=state<2N
对于每一列，情况数也有很多，但由于N很小，所以可以采取搜索的办法去处理。对于每一列，搜索所有可能的放木块的情况，并记录它对下一列的影响，之后更新状态。状态转移方程如下：
dp[i][state]=∑dp[i-1][pre]每一个pre可以通过填放成为state
对于每一列的深度优先搜索，写法如下：
标签：专题,运算,二进制,压缩,第二列,state,DP,十进制,dp 来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15464421.html