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强连通分量 -- 割点（割顶）

2021-10-24 19:06:43 作者：互联网

在无向联通图 G = ( V , E ) 中：若对于 x ∈ V ，从图中删去节点x以及所有与 x 关联的边之后， G 分裂成两个或两个以上不相连的子图，则称 x 为 G 的割点。简而言之，割点是无向联通图中的一个特殊的点，删去中这个点后，此图不再联通，而所以满足这个条件的点所构成的集合即为割点集合。

割点：

如果某个割点集合只含有一个顶点 X（也即 { X } 是一个割点集合），那么 X 称为一个割点。

设 G 是一个图，x 是 G 的一条边，如果 G - x 的连通分支数大于 G 的连通分支数，则称 x 是 G 的一个桥，或割边。

实现：

引入一道例题：洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）

显然割点的板子题，考虑两种做法（本蒟蒻都是先写暴力 QwQ ）。

1.暴力：

众所周知，暴力及枚举或爆搜，对于割点，写暴力肯定写枚举，每次枚举任意一个点删掉，看是否连通，然而对于这种比较高深的算法，显然枚举会 TLE 。

2.Tarjan：

接下来就轮到今天的主角了——Tarjan算法（注意，还有一个求连通分量的算法也叫 Tarjan 算法，与此算法类似）。（ Tarjan，全名 Robert Tarjan，美国计算机科学家。）

首先选定一个根节点，从该根节点开始遍历整个图（使用 DFS ）。

对于根节点，判断是不是割点很简单——计算其子树数量，如果有 2 棵即以上的子树，就是割点。因为如果去掉这个点，这两棵子树就不能互相到达。

对于非根节点，判断是不是割点就有些麻烦了。我们维护两个数组 dfn[] 和 low[] ，dfn[u] 表示顶点 u 第几个被（首次）访问，low[u] 表示顶点 u 及其子树中的点，通过非父子边（回边），能够回溯到的最早的点（ dfn 最小）的 dfn 值（但不能通过连接 u 与其父节点的边）。对于边 (u, to) ，如果 low[to]>=dfn[u] ，此时 u 就是割点。

但这里也出现一个问题：怎么计算 low[u] 。

假设当前顶点为u，则默认 low[u]=dfn[u]，即最早只能回溯到自身。

有一条边 (u, to) ，如果 v 未访问过，继续 DFS，DFS 完之后，low[u]=min(low[u], low[to])；

如果 to 访问过（且 u 不是 to 的父亲），就不需要继续DFS了，一定有 dfn[v]<dfn[u] ，low[u]=min(low[u], dfn[v])。

【代码实现】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
struct node//链式前向星存储图
{
    int to;
	int nex;
}mapp[200010];
int n,m,a,b,sum;
int head[100010],tot;
int dfn[100010],cnt;
int low[100010];
bool vis[100010];
void add(int x,int y)//将边(x,y)加入图
{
	mapp[++tot]=(node){y,head[x]};
    head[x]=tot;
    return;
}
void tarjan(int u,int fa)//tarjan求割点
{
    dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始
    int son=0;//用于统计子树的数量
    for(int i=head[u];i;i=mapp[i].nex)
    {
        int to=mapp[i].to;
        if (!dfn[to])
        {
            tarjan(to,fa);
            low[u]=min(low[u],low[to]);
            if(low[to]>=dfn[u]&&u!=fa) vis[u]=1;
            if(u==fa) son++;
        }
        low[u]=min(low[u],dfn[to]);
    }
    if(son>=2&&u==fa) vis[u]=1;
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) {scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b);add(b,a);}
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]) sum++;//统计割点数
    printf("%d\n",sum);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]) printf ("%d ",i);//输出
    return 0;//完结撒花
}

又 AC 一道模板题！！！

标签：割顶,--,割点,int,dfn,low,集合,include
来源： https://blog.csdn.net/struct_GS/article/details/120937982

强连通分量 -- 割点（割顶）

目录：

简介割点：

割点集合：

割点：

实现：

1.暴力：

2.Tarjan：