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概率论与数理统计-连续型随机变量基础知识(一)

作者:互联网

\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & & \\ 0& & \end{matrix}\right.     今天要了解的基础知识是连续型随机变量的概念,常见的连续型随机变量分布。

     连续型随机变量的定义是若一个随机变量的分布函数可写成F(x)=P(X<x)=\int_{-\propto }^{x}\varphi (x)dx,则该随机变量可称为连续型随机变量,其中\varphi(x)为该连续型随机变量的密度函数。连续型随机变量有哪些基本性质呢?

      (1)若连续型随机变量在某点是连续的(这个我不太清楚,数学很严谨,我一直不是很懂),则F'(x)=\varphi (x)

      (2)\int_{-\propto }^{\propto }\varphi (x)dx=1,这个性质很重要,经常用来求分布函数和密度函数。

      (3)P(b< x\leq a)=F(a)-F(b)

      (4)若X为连续型随机变量,则P(X=a)=0

这些基础知识介绍之后,紧接着就是常见分布。

一、均匀分布 

        若随机变量X落在[a,b]上各点的概率是相等的,则称随机变量X服从均匀分布,其密度函数为\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & a\leq x \leq b& \\ 0& else & \end{matrix}\right..

二、指数分布

\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} & x> 0 & \\ 0& x\leq 0 & \end{matrix}\right.,指数分布的分布函数有必要记一下F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x} &x> 0 & \\ 0& x\leq 0& \end{matrix}\right.

三、正态分布(用的实在太多了)

密度函数\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}},x的取值为全实数轴。若\mu =0\sigma =1,则称该正态分布为标准正态分布。正态分布还有如下性质:

        (1)正态分布的标准化,假设有正态分布X\sim N(\mu ,\sigma ^{^{2}}),若将X替换为\frac{x-\mu }{\sigma },则该函数服从标准正态分布\phi (x).

        (2)\phi (-x)=1-\phi (x)

四、\Gamma分布

首先介绍\tau函数:\Gamma (\alpha )=\int_{0}^{+\propto }t^{\alpha -1}e^{-t}dt,该函数有如下几条性质:

        (1)\Gamma (1)=1

        (2)\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }

        (3)=\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )

由(3)可知,\Gamma (n+1)=n!  n为正整数

接下来介绍\tau分布,若随机变量的密度函数为:

\varphi (x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} & x> 0& \\ 0 & x\leq 0 & \end{matrix}\right.    ,则称X服从\Gamma分布。即为X\sim \Gamma (\alpha ,\beta ),观察可知指数分布即为X\sim (1,\lambda ),\chi分布即为\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})

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来源: https://blog.csdn.net/weixin_52535931/article/details/120935928