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二叉树的性质

作者：互联网

要想弄清楚二叉树的性质，我们就要先理解什么是二叉树。

满足以下两个条件的树就是二叉树：

  1. 本身是有序树；
  2. 树中包含的各个结点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2

 

 接下来我们来看二叉树的性质：

 

性质1：在二叉树的第 i 层上至多有 2^{i-1} 个结点（i >= 1） 

证明： 因为是 至多 所以我们就画一个最大值，即除了叶子结点，每个结点的度都为2

 

相信找规律大家都会把，从上图中，不难得出 每层上最多的结点数 与 层数的关系，即  2^{i-1} 

 当然这个规律也是和二叉树本身有关的，因为二叉树最多一个结点有2个度，那么在最大值的情况下，每增加一个父结点就会多2个子结点 ，所以除了根节点，其他层的结点都是偶数（即与2的倍数有关）。 最大值都求出来了，那其他情况每层的结点数就一定是 小于等于最大值的.

 

性质2：深度为k的二叉树至多有 2^{k}-1 个结点（k>=1）

证明：由性质1可知，深度为k的二叉树的最大结点数为

 

 

性质3：对任何一棵二叉树 T，若其终端结点数为 n0 ，度数为 2 的结点数为 n2, 则 n0 = n2 + 1 

证明：设 n1 为度为1的结点数， n2 为度为2的结点数， 同理 n0 为度为0的结点数.

求二叉树的结点数的方法有两种：

方法一： 所有结点加起来等于总结点  即  n1 + n2 + n0 = n

方法二： 所有孩子结点加根节点等于总结点： n1 + 2n2 + 1 = n 

将二者相减 最后 得出  n0 = n2 + 1 

 

性质4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊logn⌋+1 

 证明：假设二叉树的深度为 k，则根据完全二叉树的定义得知，它的前 k-1 层是深度为 k-1 的满二叉树，共有 2^{k-1}-1 个结点。由于二叉树深度为 k，所以第 k 层上还有结点，因此该二叉树的结点数 n >2^{k-1}-1  。 再由性质2可知 n <= 2^{k}-1 所以得出：

  2^{k-1} -1< n \leqslant 2^{k}-1 

 

 因为对于 完全二叉树而言，最后一层最左边至少有一个结点，所以推出：

2^{k-1}\leq n< 2^{k} 

三项取对数后得： 

k-1\leq logn < k 

因为 k 为整数，所以有： 

 k = ⌊logn⌋+1 

 

 

 

 

 

标签：结点,二叉树,深度,n0,n2,性质
来源： https://blog.csdn.net/m0_53620413/article/details/120900798