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Codeforces 1312E. Array Shrinking（区间DP 栈）

2021-10-19 19:59:42 作者：互联网

题意：

给出一个长度为 n n n的序列，对于相同相邻的两个数 x x x可以替换为一个数 x + 1 x+1 x+1，问该序列的最短长度是多少。
n < = 500 n<=500 n<=500

思路：

看到数据范围不难想到是个区间dp
d p [ l ] [ r ] dp[l][r] dp[l][r]表示区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]能够合并成的最短序列长度。
那么 d p [ l ] [ r ] = m i n ( d p [ l ] [ k ] + d p [ k + 1 ] [ r ] ) dp[l][r]=min(dp[l][k]+dp[k+1][r]) dp[l][r]=min(dp[l][k]+dp[k+1][r])
什么时候 [ l , k ] [l,k] [l,k]和 [ k + 1 , r ] [k+1,r] [k+1,r]也可以合并呢？当两个区间的最短长度为 1 1 1并且剩下的数相同时。
记 b [ l ] [ r ] b[l][r] b[l][r]表示区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]合并后剩余的数
就可以转移了。
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

代码：

// Problem: E. Array Shrinking
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1312/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=2e5+100;

int a[510],b[510][510],dp[510][510];

int main() {
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dp[i][j]=j-i+1;
			if(i==j) b[i][i]=a[i];
		}
	
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
			int r=l+len-1;
			for(int k=l;k<=r-1;k++){
				dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]);
				if(dp[l][k]==1&&dp[k+1][r]==1&&b[l][k]==b[k+1][r]){
					dp[l][r]=1;
					b[l][r]=b[l][k]+1;
				}
			}
		}
	}
		
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	
	
	

	return 0;
}

思路：

考虑用另一种表示状态： d p [ i ] dp[i] dp[i]表示 [ 1 , i ] [1,i] [1,i]合并后的最短长度，那么最后的答案便是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]
转移的话，如果说 [ k , i ] [k,i] [k,i]可以合并为一个数，那么显然 d p [ i ] = d p [ k − 1 ] + 1 dp[i]=dp[k-1]+1 dp[i]=dp[k−1]+1
问题就转化为了如何快速判断区间 [ k , i ] [k,i] [k,i]能否合并为一个数。
延伸出两种思路：

借助括号匹配的思想，运用栈来判断。具体做法为：枚举右端点，对于每一个右端点，维护一个栈，然后倒着向前枚举，如果当前元素 x x x和栈顶元素相同，弹出栈顶，说明两者合并变为了 x + 1 x+1 x+1。最后如果说栈的大小为 1 1 1说明该段区间可以合并为一个数。
用区间 d p dp dp来解， f [ l ] [ r ] f[l][r] f[l][r]表示区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]合并后的数为多少，如果为 0 0 0则说明无法合并为一个数。枚举中间点，如果说 f [ l ] [ k ] = = f [ k + 1 ] [ r ] f[l][k]==f[k+1][r] f[l][k]==f[k+1][r] 则 f [ l ] [ r ] = f [ l ] [ k ] + 1 f[l][r]=f[l][k]+1 f[l][r]=f[l][k]+1.

前者的时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，后者为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

代码：

栈

// Problem: E. Array Shrinking
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1312/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=2e5+100;

int a[510],b[510][510],dp[510];

int main() {
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int r=1;r<=n;r++){
		dp[r]=dp[r-1]+1;
		stack<int>st;
		st.push(a[r]);
		for(int l=r-1;l;l--){
			int now=a[l];
			while(1){
				if(st.empty()){
					st.push(now);break;
				}
				if(now==st.top()) st.pop(),now++;
				else{
					st.push(now);break;
				}
			}
			if(st.size()==1) dp[r]=min(dp[r],dp[l-1]+1);
		}
	}
	cout<<dp[n]<<endl;
	
	

	return 0;
}

区间dp

// Problem: E. Array Shrinking
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1312/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=2e5+100;

int a[510],f[510][510],dp[510];

int main() {
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],f[i][i]=a[i];
	for(int len=1;len<=n;len++)
		for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
			int r=l+len-1;
			for(int k=l;k<=r;k++)
				if(f[l][k]!=0&&f[l][k]==f[k+1][r])
					f[l][r]=f[l][k]+1;
		}
	memset(dp,0x3f,sizeof dp);
	dp[0]=0;
	for(int r=1;r<=n;r++)
		for(int l=1;l<=r;l++)
			if(f[l][r]!=0) dp[r]=min(dp[r],dp[l-1]+1);
	cout<<dp[n];
	return 0;
}

总结：

d p dp dp状态不同决定了时间复杂度的不同，对于某个 d p dp dp状态来说，又会有好几种解法。
参考：
博客1
博客2

标签：1312E,int,Codeforces,len,510,Array,include,dp
来源： https://blog.csdn.net/weixin_45675097/article/details/120852585