【LG P1710】地铁涨价

思路

这里路线涨价明显等同于删边，所以我们可以把问题倒过来思考：

图上依次(倒序)加边，问每个点成为最终图最短路的时间

记原图的点 \(1\) 到达点i的最短路为 \(dis_i\)，当前状态下点 \(1\) 到达点 \(i\) 最短路为 \(d_i\)。下面称 \(d_i=dis_i\) 的点 \(i\) 为扩展点。

通过分析最短路性质发现，某个点 \(v\) 新成为扩展点情况有两个：

1. 加边 \((u,v)\) 更新，且 dis[u]==d[u]&&dis[v]==d[u]+1&&d[v]!=dis[v]。

2. 邻居 \(u\) 突然成为最终图最短路，且 dis[v]==d[u]+1&&d[v]!=dis[v]。

（其实上面是同一种情况）

重要的是，每个点只会被更新 \(1\) 次，体现在了上面的强调处。这是很显然的，因为这题答案是唯一确定的，但这个是降低复杂度的重要条件。

这题的做法就呼之欲出了：

1. 首先把最终图的最短路情况 \(dis_i\) 求出来。然后重建图，去掉所有待加边。
2. 然后依次加入待加边，检测边的两端是否符合条件 \(1\)，若符合，则进行深度优先搜索，对新成为扩展点邻居进行条件 \(2\) 判断。
3. 将每次新成为扩展点的数目记录，最后处理出答案。

最终复杂度为 \(O(n+m+q)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5,M=4e5+5;
struct edge {
    int to,nxt;
} e[M<<1];
int E[M][2],cnt,head[N];
void add(int u,int v) {
    e[++cnt].to=v,e[cnt].nxt=head[u],head[u]=cnt;
}
int dis[N],d[N],tmp;
void dfs(int u,int fa) {
    for(int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
        int v=e[i].to;
        if(v^fa&&dis[v]==d[u]+1&&dis[v]^d[v]) {
            d[v]=d[u]+1,tmp++,dfs(v,u);
        }
    }
}
bitset<N> vis,b;
void bfs(int s,int *dis) {
    queue<int> q;
    while(q.size()) {
        q.pop();
    }
    q.push(s);
    dis[s]=0,vis[s]=1;
    while(q.size()) {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
            int v=e[i].to;
            if(vis[v]) {
                continue;
            }
            dis[v]=dis[u]+1,q.push(v),vis[v]=1;
        }
    }
}
int qq[N],ans[N];
int main() {
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        scanf("%d %d",E[i],E[i]+1),add(E[i][0],E[i][1]),add(E[i][1],E[i][0]);
    }
    bfs(1,dis),cnt=0,memset(head,0,sizeof(head));
    for(int i=1; i<=q; i++) {
        scanf("%d",qq+i),b[qq[i]]=1;
    }
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        if(!b[i]) {
            add(E[i][0],E[i][1]),add(E[i][1],E[i][0]);
        }
    }
    vis=0,bfs(1,d);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
    }
    for(int i=q; i; i--) {
        int x=qq[i],u=E[x][0],v=E[x][1];
        tmp=0;
        if(dis[u]==d[u]&&dis[v]==d[u]+1&&d[v]^dis[v]) {
            tmp++,d[v]=dis[v],dfs(v,u);
        }
        swap(u,v);
        if(dis[u]==d[u]&&dis[v]==d[u]+1&&d[v]^dis[v]) {
            tmp++,d[v]=dis[v],dfs(v,u);
        }
        add(u,v),add(v,u),ans[i]=tmp;
    }
    for(int i=1; i<=q; i++) {
        ans[i]+=ans[i-1],printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

参考资料

题解 P1710 【地铁涨价】 - Scarlet 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

标签：LG,int,短路,vis,P1710,地铁,&&,加边,dis
来源： https://www.cnblogs.com/Sam2007/p/15413352.html