PPP泊松点过程特征函数分析

泊松分布，
Pr(x=k)=exp(-lambda) lambda^k / k!。
泊松分布特征函数E(exp(itx)),其中x服从泊松分布,
E(exp(itx))
= sum (k从0到无穷) exp(itk) exp(-lambda) lambda^k / k!
= exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [exp(it)]^k lambda^k / k!
= exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [ lambda exp(it) ] ^k / k!
= exp(-lambda) exp { lambda exp(it) }
= exp [ lambda (exp(it) - 1) ]
/
如果Aj={x;f(x)=fj}，其均值测度mj=u(Aj)，数量Nj=N(Aj)，
x=Nj服从泊松分布，均值为mj，则
Pr(x=Nj)=exp(-mj) {mj}^{Nj}/ {Nj}!。
则fjNj特征函数E(exp(thetafjNj))= exp [ {mj} (exp(thetafj) - 1) ]
//
如果泊松点过程有k个Aj集合，A1，A2，…Aj…Ak，
则sum{j=1,k}fjNj的特征函数
E(exp(thetasum{fjNj}))
=||_{j} exp [ {mj} (exp(thetafj) - 1) ]
=||{j} exp [ int{Aj}{(exp(thetaf(x)) - 1)u(dx)} ]
=exp { sum_{j}[ int_{Aj}{(exp(thetaf(x)) - 1)u(dx)} ]}
=exp [ int_{s}{(exp(theta*f(x)) - 1)u(dx)} ]
如果是二维坐标，u(dx)=rdrd{theta}带入积分。

标签：Nj,sum,Aj,mj,PPP,exp,泊松点,特征函数,lambda
来源： https://blog.csdn.net/xinjie1023/article/details/120759789