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S型曲线加减速
1、 S型曲线
1.1 简介
Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线。Sigmoid函数也叫Logistic函数，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间，可以用来做二分类。该S型函数有以下优缺点：优点是平滑，而缺点则是计算量大。
Sigmoid函数由下列公式定义：
Sigmoid函数在[-8，8]的计算数值以及图形如下：
由以上数据与图形可见，S型曲线就是指图形中变化阶段的曲线呈现一个英文字母'S'型，该曲线无限趋向于0和1，即取值范围为(0,1)。
1.2 曲线延伸
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函数延伸 |
说明 |
取值范围 |
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Y = A + 1 / ( 1 + exp( -x ) ) |
A分量在Y方向进行平移 |
( A , A+1 ) |
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Y = B / ( 1 + exp( -x ) ) |
B分量在Y方向进行拉伸 |
( 0 , B ) |
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Y = 1 / ( 1 + exp( -ax ) ) |
a分量在x方向进行平移 |
( 0 , 1 ) |
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Y = 1 / ( 1 + exp( -x+b ) ) |
b分量在x方向进行拉伸 |
( 0 , 1 ) |
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Y = A + B / ( 1 + exp( -ax + b ) ) |
同上 |
( A , A+B ) |
为了更直观地观察A、B、a、b分量对函数的影响，我整理 了一下对应的曲线图，如下所示：
由图可见，A、B分量影响的是曲线的取值范围，而a、b分量影响的则是曲线的平滑程度。
2、应用场景 – 电机加减速控制
2.1 简介
电机加减速，顾名思义，即电机以加速方式启动，速度达到预设目标速度后保持一段时间匀速转动，随后又开始以减速方式转动直至电机以一个较低的速度停止转动。
一方面，电机加减速可以避免电机急开急停，进而可能对电机造成一定损坏；另一方面，也可以防止电机在高驱动速度不能起步的情况，即高驱动速度会出现空转、丢步现象。因而，在电机需要达到一个较高的速度时，通常需要采用慢速加速驱动的方法，简而言之，就是需要有一个加速过程。
例如：步进电机驱动负载可以按目标速度起动，若目标速度超过自身起动脉冲频率时，则该情况下不能起动。因而，只有当起动频率比电机起动脉冲频率低时才能正常起动，采取加速的方式使速度线性地增加到目标速度，这种方法则称为慢速加速驱动。
2.2 T型与S型
目前，在电机加减速控制上，普遍的加减速方法主要有T型加减速和S型加减速，实现方法则有公式法或查表法。
S型加减速相对于T型加减速更加平稳，对电机和传动系统的冲击更小，即S型加减速的优点是启动和停止都很平滑，不会有很大的冲击，但是也并非不存在缺点，缺点就是启动和停止的时间比较长。
2.3 电机加减速控制
如要将S型曲线应用到电机的加减速控制上，需要将方程在X、Y坐标系进行平移，同时对曲线进行拉升变化：即 Y = A + B / ( 1 + exp( -ax + b ) ) ，则根据该曲线方程的相关特征可知，A、B分量可用于控制电机速度（频率）的取值范围，而a、b分量可用于控制速度（频率）变化率。最终根据实际的需要，在加减速过程中采用以下的曲线方程为：
Fcurrent = Fstart + (Fend-Fstart)/(1+exp( -Flexible(i - Num )/ Num) )
= Fstart + (Fend-Fstart)/(1+exp( -(Flexible/Num)*i + Flexible) )
即此处相当于 A = Fstart 、B = Fend-Fstart 、a = Flexible/Num 、b = Flexible ，取值范围为（Fstart，Fend），即加减速的起始速度（频率）以及目标速度（频率）。上述公式各变量说明如下：
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Fcurrent |
当前频率值 |
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Fstart |
起始频率值 |
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Fend |
目标频率值 |
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Flexible |
S型曲线拉伸变化。Flexible代表S曲线的平滑程度，Flexible越大说明加速度越大，即曲线越陡，Flexible越小说明曲线越平滑，理想的S曲线Flexible取值为4 ~ 6。 |
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Num |
Num一般取值为 Length/2 大小，这样可以使得S曲线对称，Length为加减速点的总个数 |
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i |
循环计算过程中的索引，从0开始，到 Length结束 |
以上公式既可当作加速曲线，也可当作减速曲线。因此，一般情况下，我们只需要计算加速曲线，在减速时作反向操作即可。电机从10kHz加速到100kHz的加速曲线以及从100kHz减速到10kHz的减速曲线示例如下所示：
2.4 示例代码
在电机加减速控制上，电机频率越大，电机速度越快。因而，可以通过公式法求出每个加减速点的频率值，进而通过电机频率求出具体的脉冲周期，最后在间隔相同的时间内改变脉冲相关参数（分频、周期、占空比）即可达到加减速的效果。一般情况下，如步进电机、伺服电机等，分频与占空比通常固定数值即可，这样在加减速过程仅需改变输出周期值即可。同时，不同频率脉冲输出时也需要注意脉冲的连续性（即我们需要在当前脉冲完全输出之后才能改变电机频率），否则电机加减速过程就会出现丢步现象，在脉冲数严格要求的情况下造成累积误差。
1 /** 2 * @brief: 【公式法】S型加减速曲线计算，公式：Y=Fstart+(Fend-Fstart)/(1+exp(-flexible*(x-num)/num)) 3 * @param [OUT] Fre[] 输出频率值 4 * [OUT] Period[] 输出周期值 5 * [IN] Len 变速脉冲点 6 * [IN] StartFre 开始频率 7 * [IN] EndFre 结束频率 8 * [IN] Flexible 曲线参数 9 * @return: none10 * @Date: 2020-08-12 10:32:0311 */12 void Calculate_S_Curve(float Fre[], u32 Period[], float Len, float StartFre, float EndFre, float Flexible)13 {14 float melo;15 16 for(int i = 0; i < Len; i ++)17 {18 melo = Flexible * (i-Len/2) / (Len/2);19 Fre[i] = StartFre + (EndFre - StartFre) / (1 + expf(-melo));20 Period[i] = (u32)(TIM_CLK / TIM_FRESCALER / Fre[i]); // TIM_CLK 定时器时钟 TIM_FRESCALER 定时器分频21 }22 }
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作者：Tuple
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