2021清北学堂国情刷题班Day3
作者：互联网
比赛总结
T1
签到题，考场上竟然有人用主席树做这玩意，显然比较萎。可以类比主席树的思想，每次修改时在数组相应位置下新建一个节点并记录修改信息。
现在的问题在于 2 操作是查询 $ a_u $ 在第 $ t $ 次操作后的结果。那么就可以考虑在记录的下标为 $ u $ 的所有修改的时间上二分，找到 $ t $ 之前的最后一次修改，即为答案。
T2
首先考虑一个点集的权值应该怎么计算：把题目中的操作手动实现一下就可以发现大小为 $ n $ 的集合 $ A $ 的权值即为：
\[\sum_{i = 1}^{i < n}{dep_{A_i} + dep_{A_{i + 1}} - dep(lca_{A_i, A_{i + 1}})} \]那么一种暴力的做法就是枚举 $ X $ 的子集 $ X' $ ， 每次计算该子集的权值，并异或求值即可。
但是显然这样 $ O ( 2^k · k^2 ) $ 的复杂度是无法接受的。
由于枚举子集的操作无法省去，所以考虑如何优化计算子集的贡献。
根据 DFS 序的性质，可以发现如果将子集中的点按 DFS 序排序， 那么当前点集中的一个点对权值的贡献就可以根据上一个点确定，对之后没有影响。
这样我们就可以在 $ O ( k ) $ 的时间复杂度内计算出一个集合的权值（预处理LCA）， 即可通过此题。
T3
这道题重点在于如何判断一个子区间是否为合法的括号序列。
一种做法是枚举子区间，每次碰到左括号就将一个元素压入栈，碰到右括号就弹出一个元素，最后检查栈是否为空即可，但显然无法通过本题。
那么考虑把左括号的权值设为 $ 1 $ ， 右括号的权值设为 $ -1 $ ，计算该序列的前缀和 $ pre $ ， 当且仅当 $ pre_{l - 1} = pre_{r} $ 且 $ max_{i = l}^{r}{pre_i > pre_{l-1}} $ 时该区间为合法的括号序列。
上述充要条件第一个保证了该区间中左右括号数量相同，第二个保证了所有左右括号都以 $ () $ 的形式而不是 $ )( $ 的形式匹配。
这样我们就可以以 $ O(1) $ 的时间复杂度判断一个区间是否为合法的括号序列。
T4
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