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连通性相关

作者:互联网

强联通分量

强连通:有向图 \(G\) 强连通表示,\(G\) 中任意两个结点连通。

强连通分量( Strongly Connected Components ,简称 \(\operatorname{SCC}\) ):极大的 强连通子图。

Tarjan

维护了以下两个变量:

从根开始的一条路径上的 \(dfn\) 严格递增,\(low\) 严格非降。

对于一个连通分量图,我们很容易想到,在该连通图中有且仅有一个 \(dfn[u]=low[u]\) 。该结点一定是在深度遍历的过程中,该连通分量中第一个被访问过的结点,因为它的 \(dfn\) 值和 \(low\) 值最小,不会被该连通分量中的其他结点所影响。

因此,在回溯的过程中,判定 \(dfn[u]=low[u]\) 的条件是否成立,如果成立,则栈中从 后面的结点构成一个 \(\operatorname{SCC}\) 。

P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛 G \(-\) 模板

$\texttt{code}$
#define Maxn 10005
#define Maxm 50005
void tarjan(int u)
{
	 dfn[u]=low[u]=++Time; s.push(u),ins[u]=true;
	 for(int i=hea[u];i;i=nex[i])
	 {
	 	 if(!dfn[ver[i]]) tarjan(ver[i]),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);
		 else if(ins[ver[i]]) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);
	 }
	 if(dfn[u]==low[u])
	 {
	 	 sum+=1;
	 	 do
	 	 {
	 	 	 belong[u]=sum;
	 	 	 u=s.top(); s.pop(); ins[u]=false;
	 	 	 cnt[sum]+=1;
		 } while(dfn[u]!=low[u]);
	 }
}

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);

时间复杂度 \(O(n+m)\) 。

Kosaraju

复杂度 \(O(n+m)\) 。

Garbow

复杂度 \(O(n+m)\) 。

我们可以利用强联通分量将一张图的每个强连通分量都缩成一个点。

然后这张图会变成一个 \(\operatorname{DAG}\),可以进行拓扑排序以及更多其他操作 。

应用 \(-\) 缩点

P3387 【模板】缩点

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=1;i<=tot[0];i++)
	 if(belong[fro[0][i]]!=belong[ver[0][i]])
	 	 add(1,belong[fro[0][i]],belong[ver[0][i]]),ind[belong[ver[0][i]]]++;
topo();

割点与桥

在无向图中删去这个点 \(/\) 边会使极大强联通增大,那么这个点 \(/\) 边为割点 \(/\) 桥 。

注意这里的 \(dfn\) 表示不经过父亲,能到达的最小的 \(dfn\) 。

割点

P3388 【模板】割点(割顶)

关键条件:

$\texttt{code}$
void tarjan(int u,int fa)
{
	 dfn[u]=low[u]=++Time;
	 for(int i=hea[u];i;i=nex[i])
	 {
	 	 if(!dfn[ver[i]])
		 {
		 	 tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);
		 	 if(low[ver[i]]>=dfn[u]) cnt[u]+=1;
		 }
		 else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);
	 }
}

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cnt[i]-=1,tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i]>=1) ans+=1;

割边(桥)

关键条件:

关键部分的代码:

$\texttt{code}$
void tarjan(int u,int fa)
{
	 dfn[u]=low[u]=++Time;
	 for(int i=hea[u];i;i=nex[i])
	 {
	 	 if(!dfn[ver[i]])
		 {
		 	 tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);
	 	 	 if(low[ver[i]]>dfn[u]) tag[i]=1; // 这条边是割边
		 }
		 else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);
	 }
}

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
for(int j=2;j<=tot;j+=2) ans+=max(tag[j],tag[j^1]);

双联通分量

guguguing

标签:结点,连通性,int,连通,dfn,low,相关,ver
来源: https://www.cnblogs.com/EricQian/p/15374091.html