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统计信号处理基础 习题解答3-14

作者:互联网

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题目

解答:

1. 准备知识:估计的准确度及精确度

2. 准备知识:正态分布的高阶矩

3. 当A为一个固定常数时,线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

4. 当A为一个固定常数时,非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

5. 当​A是一个随机变量,估计量的准确度及精确度随采样点数的关系


题目

对于例3.11的数据模型,考虑估计量 ,其中 是样本均值。假定我们在随机变量的一个现实为 时观测到一个给定的数据集,通过验证

证明当 时, 。因此,对于给定的现实 ,当 时, 。下一步,通过确定 ,求当 的方差,其中 ​​​​​​​ ;并将它与CRLB进行比较,解释为什么即使 ,也不能无误差的估计

解答:


1. 准备知识:估计的准确度及精确度

估计量的均方误差MSE定义为:

MSE度量了估计量偏离真值的平方偏差的统计平均值。显然MSE可以进一步转换为:

 ​​​​​​​其中:

估计的准确度(Accuracy)可以用式中的 表示,反映了估计量期望输出与真实值之间的差距;

估计的精确度(Precision)可以用式中的 表示,反映了估计量数据之间的离散化程度,存在Error Bound,例如CRLB。

具体可以参考:

误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差?看完这篇就不凌乱了 - 知乎


2. 准备知识:正态分布的高阶矩

 已知 ​​​​​​​,那么:

具体可以参考:

一般正态分布的k阶(如三阶和四阶)中心矩和原点矩如何算? - 知乎 

​​​​​​​另外,方差的计算公式:

​​​​​​​

 


3. 当A为一个固定常数时,线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 由于 是一个固定常数 ​​​​​​​,估计量:

因此:

 此时,对于估计量 存在:

 因此,可以得到:

 根据统计信号处理基础(3.9),可以得到估计量的CRLB

 ​​​​​​​根据上式,可以确认,当 时, ,​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​,也就是随着采样点数增加,基于平均的估计量方差趋近于0,此时估计量

 因此,此种场景下,采样点数的增加()都可以有效提高估计量的准确度及精确度。

 


4. 当A为一个固定常数时,非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 由于 是一个固定常数 ,用来估计信号功率的估计量:

 由于 

 因此,利用前文高阶矩的性质,得到:

 根据统计信号处理基础(3.17),可以得到 估计量 ​​​​​​​的CRLB满足​​​​​​​: 

 可以得到:当时, ​​​​​​​, ​​​​​​​

  因此,此种场景下,采样点数的增加()都可以有效提高估计量的准确度及精确度。

 


5. 当 是一个随机变量,估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 此时,A是个随机变量, 且 ,用来估计此时信号方差的估计量为:

由于

 其中 独立,且都属于高斯分布,因此:

 因此,我们得到此时:

 再次利用正态分布高阶矩的公式,得到:

 因此:

 根据统计信号处理基础例3.11的结果,可以得到 ​​​​​​​ 估计量 的CRLB满足​​​​​​​:

  可以得到:当时, ​​​​​​​,但是​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​

 因此,此种场景下,采样点数的增加()可以有效提高估计量的准确度,但始终无法提高估计量的精确度。

其本质原因是每次增加估计数据,都会引入随机变量的方差。 

标签:采样,14,方差,信号处理,准确度,点数,精确度,习题,估计量
来源: https://blog.csdn.net/weixin_43270276/article/details/120621589