统计信号处理基础 习题解答3-14
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3. 当A为一个固定常数时，线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
4. 当A为一个固定常数时，非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
5. 当A是一个随机变量，估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
题目
对于例3.11的数据模型，考虑估计量
,其中
是样本均值。假定我们在随机变量
的一个现实为
时观测到一个给定的数据集，通过验证
证明当
时，
。因此，对于给定的现实
，当
时，
。下一步，通过确定
，求当时
的方差，其中
；并将它与CRLB进行比较，解释为什么即使
，也不能无误差的估计
。
解答：
1. 准备知识：估计的准确度及精确度
估计量的均方误差MSE定义为：
MSE度量了估计量偏离真值的平方偏差的统计平均值。显然MSE可以进一步转换为：
其中：
估计的准确度（Accuracy）可以用式中的
表示，反映了估计量期望输出与真实值之间的差距；
估计的精确度（Precision）可以用式中的
表示，反映了估计量数据之间的离散化程度，存在Error Bound，例如CRLB。
具体可以参考：
误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？看完这篇就不凌乱了 - 知乎
2. 准备知识：正态分布的高阶矩
已知
，那么：
具体可以参考：
一般正态分布的k阶（如三阶和四阶）中心矩和原点矩如何算？ - 知乎
另外，方差的计算公式：
3. 当A为一个固定常数时，线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
由于
是一个固定常数
，估计量：
因此：
此时，对于估计量
存在：
因此，可以得到：
根据统计信号处理基础(3.9)，可以得到估计量的CRLB
根据上式，可以确认，当
时，
，
，也就是随着采样点数增加，基于平均的估计量方差趋近于0，此时估计量
。
因此，此种场景下，采样点数的增加（）都可以有效提高估计量的准确度及精确度。
4. 当A为一个固定常数时，非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
由于 是一个固定常数 ，用来估计信号功率的估计量：
由于
因此，利用前文高阶矩的性质，得到：
根据统计信号处理基础(3.17)，可以得到
估计量
的CRLB满足：
可以得到：当时，
，
因此，此种场景下，采样点数的增加（）都可以有效提高估计量的准确度及精确度。
5. 当
是一个随机变量，估计量的准确度及精确度随采样点数的关系
此时，A是个随机变量， 且
，用来估计此时信号方差的估计量为：
由于
其中
与
独立，且都属于高斯分布，因此：
因此，我们得到此时：
再次利用正态分布高阶矩的公式，得到：
因此：
根据统计信号处理基础例3.11的结果，可以得到
估计量 的CRLB满足：
可以得到：当时，
，但是
因此，此种场景下，采样点数的增加（）可以有效提高估计量的准确度，但始终无法提高估计量的精确度。
其本质原因是每次增加估计数据，都会引入随机变量的方差。
标签：采样,14,方差,信号处理,准确度,点数,精确度,习题,估计量 来源： https://blog.csdn.net/weixin_43270276/article/details/120621589