题目大意

给定两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，试求出 \(a^b\) 的因子和。

解题思路

本题钥匙：因子和公式和等比数列求和公式。

现有一数 \(x\)。

先将 \(x\) 质因数分解，即 \(x=a_1^{f_1}+a_2^{f_2}+a_3*{f_3}+ \dots + a_n^{f_n}\)。

则 \(x\) 的因子和即为 \(\prod_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{f_k}a_k^{i}\)。

那么 \(x^y\) 的质因数分解即是 \(a\) 不变，指数乘上 \(y\)。

但是，现在，需要快速求 \(\forall k\in\mathbb{Z},1\le k\le n \sum_{i=0}^{f_k}a_k^{i}\) 这一部分。

设 \(S = \sum_{i=0}^{f_k}a_k^{i}\)，则 \(a_kS=\sum_{i=1}^{f_k+1}a_k^{i}\)，这一式减去上一式的 \((a_k-1)S=a_k^{f_k+1}-1\)，则 \(S=\frac{a_k^{f_k+1} - 1}{a_k-1}\)。

其实是，一样的。

注意，模意义下的除法需要用到逆元。

考场上数组开大 MLE 了，惨丢 \(100pts\)，啊！。

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

const int mod = 9901;

int a, b;

int ans = 1;

int k, q[2000005], p[2000005];

int qpow(int x, int y)
{
	int ans = 1ll;
	while(y)
	{
		if(y & 1)
		{
			ans = ans * x % mod;
		}
		x = x * x % mod;
		y /= 2;
	}
	return ans % mod;
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	int kk = a;
	for(register int i = 2; i * i <= a; ++i)
	{
		if(kk % i == 0)
		{
			q[++k] = 1;
			p[k] = i;
			kk /= i;
		}
		while(kk % i == 0)
		{
			q[k]++;
			kk /= i;
		}
	}
	if(kk != 1)
	{
		p[++k] = kk;
		q[k] = 1;
	}
	for(int i = 1; i <= k; ++i)
		q[i] *= b;
	for(register int i = 1; i <= k; ++i)
	{
		int x = 1ll * (qpow(p[i], q[i] + 1) - 1) * qpow(p[i] - 1, mod - 2) % mod;
		ans = ans * x % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans % mod);
	return 0;
}

标签：因数分解,int,sum,因子,ans,数羊,mod
来源： https://www.cnblogs.com/orzz/p/15368497.html