CF103E Buying Sets

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有一个大小为 \(n\) 的全集，每个元素是一个数，有 \(n\) 个子集。题目保证任意 \(k\) 个子集的并的大小 \(\ge k\)。
每个子集有一个可正可负的权值，你需要选出一些子集使得这些子集并的大小等于子集个数，且所选子集的权值和最小。可以为空集。

考虑权值取负，然后变成最大化权值
考虑建模使得 \(S\) 连到集合边权为权值，集合连到数边权无穷，数连到 \(T\) 边权 \(0\)
这样割掉 \(S\) 的边即为不选某个集合，割掉 \(T\) 的边就是选某个数

由于任意 \(k\) 个子集的并的大小 \(\ge k\)，可得割掉的边的数量一定不小于 \(n\)
证明大概是，设左边割掉的集合为 \(L\)，右边为 \(R\)，则 \(\complement L\) 所连向的右边的点的集合只能是 \(R\)
则有 \(|\complement L|\le |R|\Rightarrow n-L\le R\Rightarrow n\le L+R\)

但是要求 不选的集合和选的数 的个数相等，则可以让 \(S\) 连的边变成无穷加权值，\(T\) 连的边变成无穷，这样不会再割多余的边，就有了 \(L+R=n\)

#define N 606
#define M 360006
struct Graph{
	int fir[N],fir_[N],nex[M],to[M],tot;
	long long w[M];
	inline void add(int u,int v,long long W,int flag=1){
		if(!tot) tot=1;
		to[++tot]=v;w[tot]=W;
		nex[tot]=fir[u];fir[u]=tot;
		if(flag) add(v,u,0,0);
	}
}G;
int S,T;
int deep[N];
int left,right,que[N];
inline int bfs(){
	std::memset(deep,0,sizeof deep);
	left=right=0;
	que[0]=S;deep[S]=1;
	int u;
	while(left<=right){
		u=que[left++];
		for(int v,i=G.fir[u];i;i=G.nex[i]){
			v=G.to[i];
			if(deep[v]||!G.w[i]) continue;
			deep[v]=deep[u]+1;que[++right]=v;
			if(v==T) return 1;
		}
	}
	return 0;
}
long long dfs(int u,long long now=1e18){
	if(u==T) return now;
	long long res=now;
	for(int v,&i=G.fir_[u];i;i=G.nex[i]){
		v=G.to[i];
		if(deep[v]!=deep[u]+1||!G.w[i]) continue;
		long long k=dfs(v,std::min(res,G.w[i]));
		if(!k) deep[v]=0;
		else G.w[i]-=k,G.w[i^1]+=k,res-=k;
		if(!res) break;
	}
	return now-res;
}
inline long long dinic(){
	long long ans=0;
	while(bfs()){
		long long now;
		std::memcpy(G.fir_,G.fir,sizeof G.fir);
		while(now=dfs(S)) ans+=now;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int n=read();
	S=n+n+1;T=S+1;
	for(int k,i=1;i<=n;i++){
		k=read();
		while(k--) G.add(i,n+read(),LL_INF);
		G.add(n+i,T,LL_INF);
	}
	long long sum=0;
	for(int k,i=1;i<=n;i++){
		k=-read();sum+=k;
		G.add(S,i,LL_INF+k);
	}
	long long ans=dinic()-n*LL_INF;
	printf("%d\n",ans-sum);
	return 0;
}

标签：fir,long,int,权值,tot,子集,Buying,Sets,CF103E
来源： https://www.cnblogs.com/suxxsfe/p/15368489.html