「tricks」整体DP
作者：互联网
不太了解这个东西的具体定义是什么，总之应该是一个用数据结构维护 DP 状态的某几个维度的 trick 吧。
事实上你可以把这篇 post 理解为三个题的解集。
先直接来看 noi2020 - Destiny 这个题。
给定一棵树 \(T = (V, E)\) 和点对集合 \(\mathcal Q \subseteq V \times V\) ，满足对于所有 \((u, v) \in \mathcal Q\)，都有 \(u \neq v\)，并且 \(u\) 是 \(v\) 在树 \(T\) 上的祖先。其中 \(V\) 和 \(E\) 分别代表树 \(T\) 的结点集和边集。求有多少个不同的函数 \(f\) : \(E \to \{0, 1\}\)（将每条边 \(e \in E\) 的 \(f(e)\) 值置为 \(0\) 或 \(1\)），满足对于任何 \((u, v) \in \mathcal Q\)，都存在 \(u\) 到 \(v\) 路径上的一条边 \(e\) 使得 \(f(e) = 1\)。由于答案可能非常大，你只需要输出结果对 \(998,244,353\)（一个素数）取模的结果。
我们略过 DP 的过程，直接给出其定义 \(f(x,j)\) 表示考虑子树 \(i\)，限制条件的 \(v\in{\rm subtree}(x)\) 且限制 \((u,v)\) 尚未被满足，\(u\) 的深度最深且 \(j={\rm dep}(u)\) 的不同映射 \(f:E_{{\rm subtree}(x)}\rightarrow\{0,1\}\) 数量，以及其转移\(f(x,i)= f(x,i)\sum\limits_{y\in{\rm suf}(x)}\left(\sum\limits_{j=0}^{{\rm dep}(x)}f(y,j)+\sum\limits_{j=0}^{i}f(y,j)\right)+f(y,i)\sum\limits_{j=0}^{i-1}f(x,j)\)。
令 \(g(x)\) 为 \(f(i)\) 的前缀和，得到平方级算法。
如果我们考虑把 DP 的第二维度状态放到线段树上，那么子树的合并就可以放到线段树上去做，即使用线段树的合并 trick 来做 DP。
我们来看看合并的具体过程。贴近实现，我们令 \({\rm merge}(x,y,l,r,s_x,s_y)\rightarrow{\rm node}\) 表示线段树合并的过程，其中 \(s_x\) & \(s_y\) 表示 DP 的前缀和（即 \(g\)），在实现（以及下文的讲解）中，均把这两个变量视作别名。
有这样几种情形需要探讨。
- \(l=r\)：此时应该把 \(f(y,l)\) 合并到 \(f(x,l)\) 中，直接对线段树结点维护的 DP 值进行修改；
- \(x=\Omega\)：此时 \(f(x)\) 的 DP 值并没有意义，在本题中可以视作零。于是打乘法标记即可；
- \(y=\Omega\)：与上一条类似。
于是得到解决，参考实现。
再来看 pkuwc2018 - Minimax 这个题。
给出一棵有 \(n\) 的结点的二叉有根树，并给出其叶子结点的权值，对于一个非叶子结点，其权值有 \(p_i\) 概率取得儿子中的最大值， \(1-p_i\) 的概率取得最小值。
令 \(\{v_{i}\}\) 表示最终根结点（\(1\)-th 结点）的所有可能取值（升序排列），其个数记为 \(m\)，每一个 \(v_i\) 取得的概率记为 \(r_i\)，将其按照 \({\rm hash}(i)=i\times v_i\times r_i\) 的规则求出 \(\sum_i{\rm hash}(i)\)。
与上一题类（完 全）似（一 致）地，同样略过 DP 的过程，给出其定义 \(f(i,j)\) 表示结点 \(i\) 取得值 \(j\) 的概率，以及其转移 \(f(i,j)=\sum\limits_{v\in{\rm suf}(i)} f(v,j)\left(p_i\sum\limits_{1\leqslant k<j}f(v',k)+(1-p_i)\sum\limits_{j<k}f(v',k)\right)\)，其中 \(v'\) 表示 \({\rm suf}(i)\setminus\{v\}\) 中的唯一取值。
令 \(g(i)\) 为 \(f(i)\) 的前缀和（显然这里的 \(\infty\) 并不是「真正的无限」），得到平方级的算法。
同样考虑把 DP 的第二维度状态放到线段树上，在线段树合并时维护 \(s_x\) & \(s_y\) 表示 DP 的前缀和，直接维护即可。
标签：线段,结点,limits,sum,整体,rm,tricks,DP 来源： https://www.cnblogs.com/orchid-any/p/15347556.html