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第一章函数极限连续

2021-09-26 20:03:17 作者：互联网

目录

1、函数定义

2.1 改变定义域（复合函数）

2.2 改变值域（隐函数）

2.3.改变映射关系（反函数）

3、函数性质

3.1 单调性（注意单调增与单调不增的区别）

一、函数

1、函数定义

对I中的元素x施加对应法则f（x），使得每一个x对应D中元素y。

I：定义域 D：值域映射关系：y=f(x)

(可以一对多但是不可以多对一)

2、考法

2.1 改变定义域（复合函数）

$y=F\left ( U\left ( x \right ) \right )$

$F\left ( x \right )$ 定义域 $I_{F}$ $=$ $U\left ( x \right )$ 值域 $D_{x}$

2.2 改变值域（隐函数）

$H=F(X,Y,Z)$

(1)多元函数全微分，偏导，连续

（2）偏导数 $\frac{\partial Z}{\partial X}=-\frac{F_{X}^{'}}{F_{Z}^{'}}$ (见多元函数微分)

2.3.改变映射关系（反函数）

$y=f(x)-----x=f^{-1}(x)$

引申：

$f=(x) \! \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x=f^{^{-1}}(y)\! \! \! \! \! \! \!$ $\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=f^{'}(x)$

显然易得：

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{'}}$

$\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=\frac{\mathrm{d} (\frac{dx}{dy})}{\mathrm{d} x}\frac{dx}{dy}={(\frac{1}{f{}'})}'\frac{1}{f{}'}=-\frac{f{}''}{(f{}')^3}$

3、函数性质

3.1 单调性（注意单调增与单调不增的区别）

（1）证明零极点，多用于复杂函数 $f(x)$ 多次求导

(2)级数收敛，数列极限（单调有界准则）

（3） $f^{n}(x)=0$ 情况下对函数 $f(x)$ 零点与单调性的判断

单调性的证明：（1） $f(x_{_{1}})-f(x_{2})$ ,其中 $x_{1}>x_{2}$

(2)求导，利用 $f^{n}(x)$ 判断

3.2 奇偶性

定义：奇函数： $f(-x)=-f(x)$

偶函数： $f(-x)=f(x)$

（1）与周期性联合考察

（2）在积分学有广泛的应用，利用积分性质快速求解

（3） $f(x) \; \; \; \; \; \; \; \int f(x)dx\;\;\;\;\; f^{'}(x)$ 三者奇偶性的转化关系（ $f(x)$ 为偶函数的时候， $\int f(x)dx$ 为奇函数，但 $F(x)$ 不一定为奇函数）

3.3 周期性

定义： $f(x+t)=f(x)$

（1） $f(x)$ 常与三角函数联合使用， $\int _{0}^{nT}f(x)dx$ 华里氏公式

（2） $\int_{0}^{x}f(t)dt$ 为周期函数的充要条件 $\int_{0}^{T}f(x)dx=0$

3.4有界性

数列有界 n>N时, $a_{n}$ >M/ $a_{n}$ <M

有界=有上界+有下界

函数有界：对于有限区间而言，只要端点或其极限存在，函数连续

$f^{'}(x)$ 在I上个有限

$f(x)$ 自身有界

标签：函数,值域,奇函数,奇偶性,第一章,极限,定义域,单调
来源： https://blog.csdn.net/weixin_49611933/article/details/120487900