leetcode 剑指offer 19. 正则表达式匹配

解体思路：动态规划

我们每次从字符串 p 中取出 一个字符 或者「字符 + 星号」的组合，并在 s 中进行匹配。我们用f[i][j]表示s的前i个字符和p的前j个字符是否能够匹配。在进行状态转移时，我们先考虑p的第j个字符的匹配情况。
可分为以下几种情况：

1. 当p中的第j个字符是一个小写字母，则必须在s中匹配一个相同的小写字母，即

如果s的第i个字符与p的第j个字符不同，则匹配失败；如果相同，则最后完整的匹配结果取决于这两个字符前面的部分是否能够匹配，因此对比是的i-1个字符与p的j-1个字符。

2. 当p中第j个字符是 . ,它能匹配任意字符 ，因此可以得出
f[i][j]=f[i-1][j-1]

3. 当p中的第j个字符是 * ，就表示可以对p中的第j-1个字符匹配任意次（0次或者多次）。在这种情况下，把第j-1个字符（假设是c）和第j个字符看成一个组合，为 c *。
情况一：匹配 s 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配。
情况二：不匹配字符，将该组合扔掉，不再进行匹配

1. 当s[i]=p[j-1]时，c * 可分为看和不看2种情况，
   第一种，看：正则串p不动，主串s前移一个：f[i][j]=f[i-1][j]
   第二种，不看，即忽略c*，直接砍掉：f[i][j]=f[i][j-2]
   例如：s：abb， p:abbb*
2. 当s[i] != p[j-1]时，直接砍掉c : f[i][j]=f[i][j-2]
   例如： s: abb，p: abbc

因此，最终的状态转移方程如下所示：

其中 matches(x,y) 判断两个字符是否匹配的辅助函数。只有当 y 是 . 或者 x 和 y 本身相同时，这两个字符才会匹配。

初始化：
动态规划的边界条件为 f[0][0]=true，即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为 f[m][n]，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。
特判：需要考虑空串空正则

1. 空串和空正则是匹配的，f[0][0]=true
2. 空串和非空正则，不能直接定义 true 和 false，必须要计算出来。（比如 A= ‘’ ‘’ , B=a∗b∗c∗）
3. 非空串和空正则必不匹配，f[1][0]=…=f[n][0]=false
4. 非空串和非空正则，那肯定是需要计算的了。
   
   复杂度分析
   时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。我们需要计算出所有的状态，并且每个状态在进行转移时的时间复杂度为 O(1)。
   空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态使用的空间。

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