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725. 完全数

作者:互联网

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题目描述

求100000000之内的完全数。

样例


今天这道题超时了,我和爸爸一起分析了一下:

算法1

(暴力枚举) \(O(n^2)\)
int sum=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
   for(int j=2;j<i;j++)
       if(i%j==0) sum+=j;

if(sum==n){
    printf("%d is perfect\n",x);
}else{
    printf("%d is not perfect\n",x);
}

这个最基本的办法超时了,TLE!!!~~~
爸爸帮我分析了一下,我总结是这样的:

1、一次算一个因子,导致它慢。

因为一个数如果能被自己的一个因子整除,那么整除的结果,就是另一个因子,应该在循环写成\(x/i\),我们可以测试一个数是因子的时候,一下子获取到两个因子,这样就会快一些。

2、一下子保存两个因子,会造成数量重复

以\(12\)为例,\(2 \times 6\),\(3 \times 4\)都是没有问题的,但\(4 \times 3\),\(6 \times 2\)也会加到\(sum\)里去,就明显就重复了,肯定不行。爸爸的办法很有意思,他要求每对因子,前面的要小于后面的(这里面还有一个等于的问题,我一会再讲),如果前面的大于后面的就不能要的,防止重复。用语句表达就是 \(i<x/i\),这里面的\(for\)循环的执行限制条件居然还可以是变化的,真是挺有意思的。
一下子找两个因子,还有另一个好处,就是\(12\),我们找到\(3\)的时候,就不用再去找\(4\)了,因为那样就重复了,数据的上限小了,就会更快。

for(int i = 2; i<= x/i; i++){
            if (x % i == 0) {
                s+=i;
                s+=x/i;
            }
        }

3、为什么要有等号呢?

是因为有些数有同时需要两个因子相等的,比如\(16\),\(25\),\(36\)这样的完全平方数,可以拆分为\(4 \times 4\),\(5 \times 5\),\(6 \times 6\),也就是存在两个一样的因子,如果没有那个等号,就丢失了一个因子,就不符合要求了。但我发现就算是不打等号,也是可以\(AC\)的,爸爸告诉我说,那是因为没有一个完全平方数是完全数,所以造成结果是一样的,我问是不是如果数字无限大,可能会有完全数是完全平方数,这个爸爸也不懂了,说需要数学家去证明,不知道。

4、为什么是while(n--) ?

是因为一共n个数字需要检查,每检查一个n就减少一个,就像是火箭发射一样,5,4,......1 发射!!!!!

5、为什么要在输出那里写成 if(s==x && x>1) 呢?

s==x是啥我就不说了,x>1是因为任何数都有1这个因子,我们不讨论它,而且最小的完全数是6,如果输入的是1肯定不是完全数

完整的代码:

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while (n--)
    {
        int x;
        int s=1;
        cin>>x;
        for(int i = 2; i<= x/i; i++){
            if (x % i == 0) {
                s+=i;
                s+=x/i;
            }
        }
        if(s==x && x>1)
            printf("%d is perfect\n",x);
        else
            printf("%d is not perfect\n",x);
    }
    return 0;
}

标签:int,爸爸,完全,times,因子,725,数是
来源: https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15320244.html