二分法及其边界问题、自锁问题

本文是受到了【洛谷日报#13】浅谈二分的边界问题的启发后写出来记录一下的，如有需要还是建议先去看这篇洛谷日报。

二分法

曾经有位大犇向我们传授道：看到求最大的最小或是最小的最大，那么就大概率是二分答案。

举一个猜数字的例子：你的朋友心中默想1到n中的一个数让你去猜，而在你每次猜出后，他会用“大了”或是“小了”来作为回应，直到你猜到那个数字为止。

最容易想到的就是暴力的策略： 你从1开始连续的向后猜，直到猜到为止，这种方法的效率是O(n)。
之后就是要说的二分答案的策略：首先我们猜最中间的那个数（1+n/2），如果大了，说明数在比这个中间数小的左边那一半，反之如果小了，便是在右边更大的数那一半。
在之后，我们便再去取剩下的那半边的中值就好。可以看到我们每猜一次，便能排除掉现有的一半的数，直到猜出答案，这种方法的效率是O(logn)。

二分法的边界问题

在逛博客的时候，看到好多人将边界问题分为啥开区间闭区间之类的，这让数学能力不强的我感到很难读懂。我来说一下我的理解。
在处理边界问题时，只需要注意一点就是要按照题目进行分析，而不是盲目的去套用不同情况下总结的模板。以上题为例：

l=1,r=n;
while(l<r)
{
    mid=(l+r)>>1;
	
    if(mid>x) r=mid-1;
    if(mid<x) l=mid+1;
    if(mid==x)
    {
        printf("就是它了");
        return 0;
    }
}
printf("l和r都是答案");

在初学时，我对于最终的答案应该是l还是r还是mid非常不确定，所以可以使用一种笨方法就是都单独去判断一遍（我就是这么过来的）。

我们看到循环条件l<r，这说明循环在l==r时停止，也就是找到了那个值，所以当循环结束时，l和r都是答案的值。

而mid不是，因为当l==r时退出了循环，mid来不及做本轮的赋值操作，它还是上一轮循环的mid的值。

mid>x：这说明当前的值比答案“大了”，因此可以排除掉包括mid以及其右边的数（因为mid本身已经大了），所以为r=mid-1；
mid<x：这说明当前的值比答案“小了”，因此可以排除掉包括mid以及其左边的数（因为mid本身已经小了），所以为l=mid+1；
mid==x：这说明这就是答案，输出就好了。

接下来，我们稍微变换一下写法：

l=1,r=n;
while(l<r)
{
    mid=(l+r)>>1;
	
    if(mid>=x) r=mid;
    if(mid<x) l=mid+1;
}
printf("l和r都是答案");

mid>=x：这说明当前的值可能比答案“大了”，因此可以排除掉不包括mid的其右边的数（因为mid本身可能就是答案），所以r=mid；

所以说，r和l的赋值并没有什么固定的写法，而是根据题意和自己的写法分析得出的，这是我想说明的很重要的事。

自锁问题（不确定，酌情参考）

二分法往往会遇到自锁的问题，也就是l和r永远碰不到一起导致无限循环。我们把栗子再换一种写法：

//会自锁！！
l=1,r=n;
while(l<r)
{
    mid=(l+r)>>1;
	
    if(mid>x) r=mid-1;
    if(mid<=x) l=mid;
}
printf("l和r都是答案");

表面看上去没有影响，但我们考虑一组值：x=2，l=2，r=3，此时mid=(2+3)/2=2，mid仍等于2，导致执行l=mid=2，可以发现l和r永远的卡在了2和3。

我的理解是这样的：
计算机在进行除法运算时，会自行抹去整型后边小数的部分，例如(5+6)/2=5，因此我们可以说，(l+r)/2这种操作所得到值是偏小的，而我们也恰巧在mid
偏小的同时将等于x的情况合并纳入了mid<x中，这就导致了有些情况下明明mid偏小了不是正确答案，而有l=mid的存在使得左边界无法移动导致自锁。

解决的办法也很简单，既然是这么归纳的条件，那么让mid的值偏大即可，也便是mid=(l+r+1)>>1。

同理，在mid=(l+r+1)>>1的情况下：

//会自锁！！
l=1,r=n;
while(l<r)
{
    mid=(l+r+1)>>1;
	
    if(mid>=x) r=mid;
    if(mid<x) l=mid+1;
}
printf("l和r都是答案");

在一组值：x=3，l=2，r=3时，同样会自锁。

自锁情况的理解仅供参考，我也不确定是不是还有别的锁住的情况。

标签：mid,边界问题,二分法,while,答案,自锁
来源： https://www.cnblogs.com/CYHeimu/p/15319100.html