在 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》 里 的 讨论
作者：互联网
网友 思维机器 在 反相吧 发了一个 帖 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》 https://tieba.baidu.com/p/7543575658 。
回复 10 楼， 简单的情况， A B 点 的 y 坐标相同， 那么， 最小面积 解 出现在 AB 线段（一字型） 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间， 也就是 线段 AB 和 折线 ACDB 之间 。
AB 间 距离 记为 AB， AC 长度 记为 R， EC 长度 记为 r， 可以证明， 只要满足 AB > R - r ， 折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。 也就是说， 无论 AB 间 的 距离 多小， 总是 可以有 折线 AEFB 旋转的面积 比 线段 AB 旋转 的 面积小 。
还可以 证明， 当 r = R - AB / 2 时， 折线 AEFB 的 旋转面积 取 极值点（极小值）， AEFB 旋转面积 最小 。
显然， 当 r > 0 时， E 在 AC 上 ； 当 r = 0 时 ， E 和 C 重合， EF 和 CD 重合； 当 r < 0 时， E 在 AC 的 延长线 上， 这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 ， 此时 AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值， 但是是 最小值 。
第一个 证明 是一个 一元一次不等式， 第二个证明 是 二次函数 求 极值， 不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的， 过程 就不写上来了 。
以上说明， 在 AC 上 存在 一点 E， E 不和 A 重合， 使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。
这是 折线 的 最小解， 曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等， 这个 是 不确定 的， 需要 数学 上 证明 。
但 从 折线 可以 看到 一些 趋势， 比如 曲线 的 最小解 也 可能 只有 一个 。
当 AB 间 距离 不太大 时， 在 AC 里 存在 E 点 ， 是 折线 AEFB 旋转面积 的 极值点 （极小值）， 当 AB 间 距离 比较大时， 极值点 在 AC 的 延长线 上， 即 EF 和 CD 重合 时， AEFB 的 旋转面积 最小 。
这两个 证明 都是 一元二次不等式 和 一元二次方程， 第二个 证明 极值点 用到 求导数， 过程 就不写上来了 。
标签：AC,AB,曲线,旋转,所成,折线,曲面,面积,AEFB 来源： https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15310729.html