Schwarz inequality（施瓦茨不等式）一个简洁证明的思路分析

上图是 Walter Rudin 所著的《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）里对施瓦茨不等式的一个简洁证明。因为跨页没有拍全，后页还有如下三行：

        Since each term in the first sum  is nonnegative, we see that

                                     B(AB - |C|²) ≥ 0.

        Since B > 0, it follows that AB - |C|² ≥ 0. This is the desired inequality.

这个证法简洁而巧妙，可这个思路是怎么来的呢？从正向看，很难解释怎么会想到构建 |Ba_j - Cb_j|²。从反向来看一下：

显然，所要证明的结论等价于

       AB - |C|² ≥ 0          ①

A 和 B 形式一致，即都是 n 个实数的平方之和，因此 AB 展开会得到 n² 个 |a_i|·|b_j|（即 |a_ib_j|）形式的实数的平方之和。C 是 n 个a_j·b_j^¬（由于编辑器的限制，打不出上划线，这里用 b^¬ 表示复数 b 的共轭复数）形式的复数之和，|C|² = C·C^¬，对 C·C^¬ 做进一步的展开处理可能也是一个思路，但是会相当繁琐。 初步判断，试图通过展开的方式去证明 ① 应该是比较困难的。

由 ①，两边同乘 B 有，B(AB - |C|²) ≥ 0，即

       B²A - B|C|² ≥ 0       ②

在 ② 中，把 B² 看成一个整体，则

       B²A = B²(|a₁|² + ... + |a_n|²)  = (B·|a₁|)² + ... + (B·|a_n|)²

即 B²A 可以展开成 n 个 B·|a_j| 形式的实数的平方之和。

同样，把 |C|² 看成一个整体，B|C|² 可以展开成 n 个 |C|·|b_j| 形式的实数的平方之和，即

       B|C|² = (|C|·|b₁|)² + ... + (|C|·|b_n|)²

这样 ② 的左端可以展开成 n 个 (B·|a_j|)² - (|C|·|b_j|)² 形式的平方差之和，但要证明这样的每个平方差都不小于 0 应该是不可行的。

对 ② 的左端继续做以下处理：

     B²A - B|C|² = B²A - B|C|² - B|C|² + B|C|² = 

     B²A - BC·C^¬ - B·C^¬·C + |C|²·B  ≥ 0       ③

③ 中，B²A、-BC·C^¬、-BC^¬·C、|C|²·B 分别可展开为：

      B²A = B²·a₁a₁^¬   + ... +  B²·a_na_n^¬

-BC·C^¬ = -BC·a₁^¬b₁  - ...  - BC·a_n^¬b_n

-BC^¬·C = -BC^¬·a₁b₁^¬ - ... - BC^¬·a_nb_n^¬

 |C|²·B  = CC^¬·b₁b₁^¬  + ... + CC^¬·b_nb_n^¬

从纵向看，有

B²·a_ja_j^¬ - BC·a_j^¬b_j - BC^¬·a_jb_j^¬ + CC^¬·b_jb_j^¬ = (B·a_j - C·b_j)(B·a_j^¬ - C^¬·b_j^¬)

=  (B·a_j - C·b_j)·(B·a_j - C·b_j)^¬ = |B·a_j - C·b_j|² 

于是有

B²A - B|C|² = Σ|B·a_j - C·b_j|²

至此，这个证明思路才算理清楚了。

上面的施瓦兹不等式中，左端的 b_j^¬ 可以换成 b_j，即 C = Σa_jb_j，依然会有 |C|² ≤ AB 成立。这是因为 |b_j^¬| = |b_j|，继而有 Σ|b_j^¬|² = Σ|b_j|² = B.

来看一下这个不等式在实数范畴的形式：

a₁, a₂, ..., a_n 和 b₁, b₂, ..., b_n 为两组实数，则有 (Σa_jb_j)² ≤ Σa_j²·Σb_j²，该结论还可以强化为

(Σ|a_jb_j|)² ≤ Σa_j²·Σb_j²      ④

以下尝试用上面的证明思路来证明 ④。不妨假设 a_j，b_j 均为非负实数，记 A = Σa_j²，B = Σb_j²，C = Σa_jb_j，于是 ④ 等价于 AB - C² ≥ 0

当 A = 0 时，有 a_j = 0，④ 显然成立。考虑 A > 0，则 ④ 等价于 A²B - AC² ≥ 0.

A²B - AC² = A²B - 2AC² + AC²

A²B、-2AC²、AC² 分别可展开为：

       A²B = A²·b₁²   + ... + A²·b_n²

-2AC² = -2AC·a₁b₁ - ... - 2AC·a_nb_n

      AC² = C²·a₁²  + ... + C²·a_n²

从纵向看，有

A²·b_j² -2AC·a_jb_j  + C²·a_j² = (Ab_j- Ca_j)²，于是有

A²B - AC² = Σ(Ab_j- Ca_j)² ≥ 0.

故 ④ 成立。

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来源： https://www.cnblogs.com/readalps/p/15255643.html