[uoj276][清华集训2016]汽水——分数规划+点分治

题目大意：

给定一颗带边权的树，求一条路径使得这条路径上的边权的平均值最接近一个给定的值。

思路：

既然是求平均值，那么自然而然就想到了分数规划了， 即最小化\(|\frac{\sum_{i=1}^{{len}}w_i}{len}-k|\)。
然后二分答案\(x\)，考虑是否存在比\(x\)更优的答案：\(|\frac{\sum_{i=1}^{{len}}w_i}{len}-k|\leq x\)，带有绝对值的好像不太好处理，于是将绝对值拆开：\(-x\leq \frac{\sum_{i=1}^{{len}}w_i}{len}-k \leq x\)，一般的分数规划都是求一个式子的最值，而这里不难发现需要有两个式子的值同时满足：
\[ \sum_{i=1}^{len}w_i-k+x \geq 0\\ \sum_{i=1}^{len}w_i-k-x \leq 0 \]
由于这里是树上的路径问题，考虑用点分治来解决，考虑以某一个分治重心为根的子树内所有点，按照他们到根的边权和从小到大排序，我们考虑每一个点在满足第一维的情况下最小化第二维的值，这样只需要two point 扫一下就好了。

/*=======================================
 * Author : ylsoi
 * Time : 2019.2.13
 * Problem : uoj276
 * E-mail : ylsoi@foxmail.com
 * ====================================*/
#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("uoj276.in","r",stdin);
    freopen("uoj276.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    _=0; T f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(c^'0');
    _*=f;
}

const int maxn=5e4+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=1e18;
int n;
ll k;
int beg[maxn],to[maxn<<1],las[maxn<<1],cnte=1;
long double w[maxn<<1],c1[maxn<<1],c2[maxn<<1];

void add(int u,int v,long double ww){
    las[++cnte]=beg[u],beg[u]=cnte,to[cnte]=v,w[cnte]=ww;
    las[++cnte]=beg[v],beg[v]=cnte,to[cnte]=u,w[cnte]=ww;
}

int sz[maxn],min_sz,tot_sz,rt;
bool vis[maxn];

void get_rt(int u,int fh){
    int max_sz=0;
    sz[u]=1;
    for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fh || vis[v])continue;
        get_rt(v,u);
        max_sz=max(max_sz,sz[v]);
        sz[u]+=sz[v];
    }
    max_sz=max(max_sz,tot_sz-sz[u]);
    if(max_sz<min_sz){
        min_sz=max_sz;
        rt=u;
    }
}

struct node{
    long double d1,d2;
    int from;
    bool operator < (const node & tt) const {
        return d1<tt.d1;
    }
}a[maxn];
int cnt_dis;

void get_dis(int u,int fh,long double d1,long double d2,int from){
    a[++cnt_dis]=(node){d1,d2,from};
    for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fh || vis[v])continue;
        get_dis(v,u,d1+c1[i],d2+c2[i],from);
    }
}

void chkmin(int &mn,int &nx,int p){
    if(a[p].d2<a[mn].d2){
        if(a[p].from!=a[mn].from)nx=mn;
        mn=p;
    }
    else if(a[p].d2<a[nx].d2 && a[p].from!=a[mn].from)nx=p;
}

bool solve(int u){
    a[cnt_dis=1]=(node){0,0,u};
    for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
        int v=to[i];
        if(vis[v])continue;
        get_dis(v,u,c1[i],c2[i],v);
    }
    sort(a+1,a+cnt_dis+1);
    int mn=0,nx=0,p=1,q=1; //[p,q-1] is ok
    a[0].d2=INF;
    while(a[q].d1<0)++q,++p;
    while(q<=cnt_dis){
        while(p>1 && a[p-1].d1+a[q].d1>=0)
            chkmin(mn,nx,--p);
        if(a[mn].from!=a[q].from && a[mn].d2+a[q].d2<=0)return true;
        if(a[mn].from==a[q].from && a[nx].d2+a[q].d2<=0)return true;
        chkmin(mn,nx,q++);
    }
    return false;
}

bool divide(int u){
    vis[u]=1,get_rt(u,0);
    if(solve(u))return true;
    for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
        int v=to[i];
        if(vis[v])continue;
        tot_sz=sz[v],min_sz=inf;
        get_rt(v,0);
        if(divide(rt))return true;
    }
    return false;
}

bool jud(long double x){
    REP(i,2,cnte)c1[i]=w[i]+x,c2[i]=w[i]-x;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    tot_sz=n,min_sz=inf;
    get_rt(1,0);
    return divide(rt);
}

int main(){
    File();
    read(n),read(k);
    int u,v;
    ll ww;
    REP(i,1,n-1){
        read(u),read(v),read(ww);
        add(u,v,(ww-k)*1.0);
    }

    long double l=0,r=1e13,mid;
    while(r-l>1e-3){
        mid=(l+r)/2;
        if(jud(mid))r=mid;
        else l=mid;
        //printf("%.10Lf %.10Lf\n",l,r);
    }

    printf("%lld\n",(ll)(r));

    return 0;
}

标签：汽水,sum,mn,mid,len,leq,uoj276,2016,getchar
来源： https://www.cnblogs.com/ylsoi/p/10369635.html