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题解 P6824 「EZEC-4」可乐

作者:互联网

题意简述

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给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和一个整数 \(k\) ,你需要构造一个数字 \(x\) ,使得 \(\sum_\limits{i=1}^n [a_i\oplus x\leq k]\) 最大,你需要求出这个最大值。

\(1 \leq n,k,a_i \leq 10^6\)。

Solution

这里给出一个递归的写法。

建出包含序列中所有数字的 Trie 树,然后考虑一个函数 \(solve(x,i)\) 表示当前在 Trie 的 \(x\) 节点上,并且当前节点的子树中的所所有数字与之前构造的 \(x\) 异或的最高的 \(i-1\) 位都和 \(k\) 的最高的 \(i-1\) 位相同的情况下能喝到的可乐的最大数量。最终答案为 \(solve(rt,\lfloor\log_2 k\rfloor)\) (\(rt\) 表示 Trie 的根节点)。

对于求解 \(solve(x,i)\) 的话可以分类讨论(下面用 \(ls(x)\) 表示 \(x\) 在 Trie 上的左儿子,\(rs(x)\) 表示 \(x\) 在 Trie 上的右儿子 ,\(s(x)\) 表示以 \(x\) 为根的子树内的数字个数):

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(k+n\log_2 n)\) (递归的复杂度是根据每个节点都会访问一次且仅访问一次确定的)。

这样写空间很大(我过不去),考虑有没有什么优化。

注意到建出 Trie 完全是为了方便找数,而不是利用什么树形性质。我们可以在递归的时候用一个 vector 来代替。也就是说,设 \(solve(v,i)\) 表示当前 \(v\) 中的所有数字与之前构造的 \(x\) 异或的最高的 \(i-1\) 位都和 \(k\) 的最高的 \(i-1\) 位相同,然后每次就把 \(v\) 分裂成两部分(按照第 \(i\) 位是 \(0\) 还是 \(1\)),递归方式和上面一样,只不过递归子节点变成了传递一个 vector

时间复杂度和上面 Trie 相同,空间复杂度的话由于递归之后会释放空间,所以同时空间最多是 \(\mathcal{O}(n \log_2 n)\),复杂度正确,而且跑得还挺快。

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
inline int read() {
	int num = 0 ,f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f ,c = getchar();
	while (isdigit(c)) num = (num << 1) + (num << 3) + (c ^ 48) ,c = getchar();
	return num * f;
}
const int N = 1e6 + 5 ,LG = 19;
int n ,k;
vector <int> v;
inline int solve(vector <int> v ,int i) {
// 	if (v.size() == 0) return 0;
	if (i == 0) return v.size();
	vector <int> v0 ,v1;
	for (auto x : v) {
		if (x >> i & 1) v1.push_back(x);
		else v0.push_back(x);
	}
	if (k >> i & 1)
		return max(v0.size() + solve(v1 ,i - 1) ,v1.size() + solve(v0 ,i - 1));
	else
		return max(solve(v0 ,i - 1) ,solve(v1 ,i - 1));
}
signed main() {
	n = read() ,k = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x = read();
		v.push_back(x);
	}
	printf("%d\n" ,solve(v ,LG));
	return 0;
}

标签:递归,Trie,题解,复杂度,solve,P6824,EZEC,include,位为
来源: https://www.cnblogs.com/Dragon-Skies/p/15242325.html