菲波那切数列动态规划求解

解题思路

　　斐波那契数列的定义：f(n)=f(n-1)+f(n-2), 求解f(n) 的方式有以下三种：

1. 递归法：
   1. 原理：一个问题可以拆分几个子问题，这个问题和分解后的子问题解决思路一致，有终止条件，例如求f(n) 分解求f(n-1)、 f(n-2)，f(0)、f(1)是递归终止条件
   2. 存在的问题：递归求解时，存在大量的重复计算。例如，求解f(n) f(n-1) 需要计算两次f(n-2)。法：
   1. 原理：递归法的基础上，新建一个长度为 nn 的数组，用于在递归时存储 f(0)f(0) 至 f(n)f(n) 的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的递归计算
   2. 存在的问题：需要另外一个O(n)大小的空间
2. 动态规划：
   1. 原理：f(n)=f(n-1)+f(n-2) 通项公式既是转移方程

   2. 动态规划解析：
      状态定义： 设 dpdp 为一维数组，其中 dp[i]dp[i] 的值代表 斐波那契数列第 ii 个数字 。
      转移方程： dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1]dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1] ，即对应数列定义 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)f(n+1)=f(n)+f(n−1) ；
      初始状态： dp[0] = 0dp[0]=0, dp[1] = 1dp[1]=1 ，即初始化前两个数字；
      返回值： dp[n]dp[n] ，即斐波那契数列的第 nn 个数字。
      空间复杂度优化：
      若新建长度为 nn 的 dpdp 列表，则空间复杂度为 O(N)O(N) 。

      由于 dpdp 列表第 ii 项只与第 i-1i−1 和第 i-2i−2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量 sumsum 使 a, ba,b 两数字交替前进即可 （具体实现见代码） 。
      节省了 dpdp 列表空间，因此空间复杂度降至 O(1)O(1) 

   3. 代码

      class Solution {
          public int fib(int n) {
              int a = 0, b = 1, sum;
              for(int i = 0; i < n; i++){
                  sum = (a + b);
                  a = b;
                  b = sum;
              }
              return a;
          }
      }
      

      　　

标签：dpdp,数列,递归,int,sum,那切,菲波,dp
来源： https://www.cnblogs.com/jiags/p/15230065.html