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CF1383C String Transformation 2

作者:互联网

一、题目

点此看题

二、解法

首先把转图论模型:有 \(20\) 个点,按时间顺序往里面加边,要求 \(\forall i,A_i\) 到 \(B_i\) 有一条时间单调递增的路径,问最小加边数量。这个模型成立的原因是我们按时间顺序操作,如果一个点达到了目标状态就可以把它固定下来。

记 \(G_1\) 为加边之后形成的图,\(G_2\) 为连有向边 \((A_i,B_i)\) 形成的图;记 \(S\) 为 \(G_2\) 最大的 \(\tt DAG\)(\(m=|S|\)),\(e\) 表示最小边数,\(n\) 表示总点数,\(c\) 表示 \(G_2\) 的弱联通图数量。

Lamma:\(e=2n-m-c\)

首先证明可以构造到这个答案,考虑把 \(S\) 中的点按拓扑序重编号为 \(1,2...m\),那么像这样连边:

除了 \(S\) 中满足 \(i>j\) 的 \(i\) 无法到 \(j\) 以外,其他点对都可以互相到达,但因为 \(S\) 是拓扑图所以并不要求这样的点对有路径。对于这个弱联通块答案是 \(e=m+1-2(n-m-1)=2n-m-1\),多个弱连通图的答案是 \(e=2n-m-c\)

然后证明它是答案下界,我们考虑 \(G_1\) 的任意一种连边方案,维护一个 \(G_2\) 中的集合 \(T\),\(T\) 中没有在 \(G_1\) 中自己经过时间递增的路径走回自己的点,考虑增量法加边:

考虑最优连边方案 \(G_1,G_2\) 弱联通块个数相等,所以第一种情况的边恰好有 \(n-c\) 条,根据第二种情况最后 \(T\) 集合的大小来列不等式:\(|T|\geq n-(e-(n-c))\rightarrow e\geq 2n-|T|-c\),取 \(|T|=m\) 即可证明原结论。

那么现在的问题是求一个最大导出子图使其为 \(\tt DAG\),每次考虑加入一个点,然后出边不连接到原集合即可,也就是我们按拓扑序来规划每个可能的导出子图,那么使用状压 \(dp\) 可以做到 \(O(2^nn)\)

三、总结

建立图论模型需要积累各种量的意义,本题路径的意义表示一种转化方式。

证明答案下界的思路也很重要,本题用到的方法我称之为势能法,也就是我们找到某个量为势能,对于任意一种决策方案,考虑最坏情况让势能的减少量,根据这个东西来列不等式。

最后反过来思考,为什么本题会有和 \(\tt DAG\) 有关的这种结论?我的想法是首先可以构造出一种 \(2n-1\) 的图使得任意两点之间都有路径,但是因为有些点对之间并不需要有路径所以这种构造不优,那么就可以联想到 \(\tt DAG\) 中的点只需要有拓扑序小到大的路径,那么就可以在 \(\tt DAG\) 上缩减边数。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 100005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int T,n,ans,mx,fa[20],out[20],dp[1<<20];
char s[M],t[M];
int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void work()
{
	n=read();scanf("%s%s",s,t);ans=mx=0;
	for(int i=0;i<20;i++) fa[i]=i,out[i]=0;
	for(int i=0;i<(1<<20);i++) dp[i]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x=s[i]-'a',y=t[i]-'a';
		out[x]|=(1<<y);
		fa[find(x)]=find(y);
	}
	ans=40;dp[0]=1;
	for(int i=0;i<20;i++)
		if(i==find(i)) ans--;
	for(int i=0;i<(1<<20);i++) if(dp[i])
	{
		mx=max(mx,__builtin_popcount(i));
		for(int j=0;j<20;j++)
			if(!(i&(1<<j)) && (out[j]&i)==0)
				dp[i|(1<<j)]=1;
	}
	printf("%d\n",ans-mx);
}
signed main()
{
	T=read();
	while(T--) work();
}

标签:DAG,联通,String,tt,路径,CF1383C,2n,加边,Transformation
来源: https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/15213540.html