3D数学---矩阵的几何意义：变换

什么是变换

在三位渲染中，矩阵是可视化的，这个可视化的结果就是变换。 具体一下，变换指的是我们把一些数据，如点，方向矢量甚至是颜色等， 通过某种方式进行转换的过程。

线性变换

线性变换指的是那些可以保留矢量加和标量乘的变换。用数学公式来表示这两个条件就是：f(x) + f(y) = f(x+y) ， kf(x) = f(kx)

例：f(x)=2x可以表示一个大小为2的统一缩放，即经过变换后矢量x的模将被放大两倍。可以发现，f(x) = 2x 满足上方两个条件

对于线性变换来说，如果我们要对一个三维的矢量进行变换，那么仅用3 X 3的矩阵就可以表示所有的线性变换。但不能表示平移变换。

仿射变换

仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型，仿射变换可以用一个4 X 4的矩阵来表示，为此，我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间。

常见的变换种类和它们的特性

齐次坐标

由于3x3的矩阵不能表示平移操作，我们就把其扩展到了4x4的矩阵。为此，我们还需要把原来的三维矢量转换成四维矢量，也就是我们说的齐次坐标。

齐次坐标是一个四维矢量。对于一个点，从三维坐标转换成齐次坐标是把其w分量设为1，而对于方向矢量来说，需要把其w分量设置为0。(这样的设置会导致，当对一个4x4的矩阵进行变换时，平移，旋转，缩放都会施加于该点。但是如果是用于变换一个方向矢量，平移的效果就会被忽略。)

分解基础变换矩阵

我们已经知道可以用一个4x4的矩阵来表示平移旋转和缩放。我们把表示纯平移，纯旋转，纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵。这些矩阵有一些共同点，我们可以把一个基础变换矩阵分解成4个部分

其中，左上角的矩阵M_3x3用于表示旋转和缩放，t_3x1用于表示平移，O_1x3是零矩阵，即O_1x3=[0 0 0]，右下角的元素就是标量1

平移矩阵

我们可以使用矩阵乘法来表示对一个点进行平移变换：

不难看出这个矩阵有了平移的效果，在3D中可视化的效果是，把点(x,y,z)在空间中平移了(t_x，t_y，t_z)个单位

平移变换不会对方向矢量产生任何影响：(矢量没有位置属性，可以位于空间任意一点)

缩放矩阵

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