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题解:CF1407D Discrete Centrifugal Jumps

作者:互联网

题意简析

\(1. i = j + 1\)

\(2. \min(h_i,h_j) > \max(h_{i+1},h_{i+2},...,h_{j-2},h_{j-1})\)

\(3. \max(h_i,h_j) < \min(h_{i+1},h_{i+2},...,h_{j-2},h_{j-1})\)

分析

显然,这是一道 dp 题。但是直接暴力枚举 \(i,j\),和枚举区间最大值和最小值,复杂度为 \(O(n^3)\)。可能某些神仙能把它优化到 \(O(n^2)\),但是本题仍不能过。考虑 \(O(n\log n)\) 的算法。

这里考虑单调栈。什么是单调栈?

单调栈,是指一个栈中,所有的元素均满足一种单调性。它可以是升序,也可以是降序,只要满足单调皆可。

在这里,区间的最大值,最小值,都可以存到一个单调栈中,每次需要查找或更新时,将栈中的元素取出即可。这一复杂度为 \(O(\log n)\)。就很神仙。

那么在本题中,我们可以开两个栈,分别为升序和降序,表示题意中最大值和最小值能跳跃的条件。方便规定,我们将栈顶元素最大表示为降序。记 \(s\) 表示降序的单调栈,且 \(s\) 中保存的元素是它在 \(h\) 中的编号。

对于这种情况:假设我们当前枚举到了 \(i\),让 \(h_i\) 与栈顶 \(h_{s_{tot}}\) 进行比较。如果 \(h_i\le h_{s_{tot}}\),违背了单调性,需要让 \(tot=tot-1\),但是在这种情况,满足我们跳跃的第二种条件。因为单调性,所以 \(h_{s_{tot-1}}\le h_{s_{tot}}\),且 \(h_{s_{tot}}\) 是 \([tot,i]\) 中的最大值,又已知 \(h_i\le h_{s_{tot}}\),只要\(h_i\not = h_{s_{tot}}\) 肯定满足 \(\min(h_i,h_{s_{tot-1}})<\max(h_{s_{tot}},...,h_{i-1})\),固有:

\[dp_i=\min(dp_i,dp_{s_{tot-1}}+1) \]

升序同理。
当然,最初

\[dp_i=dp_{i-1}+1 \]

这样我们就轻松的解决了这道题。

总结

其实也没啥好总结的。 用单调栈优化 dp。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 3e5 + 7;;
int s[N], dp[N], a[N], b[N];
int tot1, tot2;

inline int max(int x, int y){return x > y ? x : y;}
inline int min(int x, int y){return x < y ? x : y;}

inline int read(){
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)){if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)){x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; c = getchar();}
	return x * f;
}

int main(){
	int n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = read();
	memset(dp, 0x3f3f3f3f, sizeof(dp));
	a[++ tot1] = 1, b[++ tot2] = 1, dp[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i ++){
		dp[i] = dp[i - 1] + 1;
		while (tot1 && s[i] >= s[a[tot1]]){
			if (s[i] != s[a[tot1]]) dp[i] = min(dp[i], dp[a[tot1 - 1]] + 1);
			tot1 --;
		}
		while (tot2 && s[i] <= s[b[tot2]]){
			if (s[i] != s[b[tot2]]) dp[i] = min(dp[i], dp[b[tot2 - 1]] + 1);
			tot2 --;
		} 
		a[++ tot1] = i, b[++ tot2] = i;
	}
	printf("%d", dp[n]);
	return 0;
}

标签:le,min,int,题解,Jumps,Centrifugal,tot,单调,dp
来源: https://www.cnblogs.com/1314cqy/p/15125307.html