古典密码的演化 （一）— 密码学复习（二）
作者：互联网
复习完密码学的基本概念后，下面对古典密码进行简单的复习。下图列出的是经典密码体制的框图。（由于比较懒就直接放笔记的照片了⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄）
古典密码学大体上可以分为 代换密码 和 置换密码。
（1）代换密码
构造一个或多个密文字母表，然后用密文字母表中的字母或字母组来代替明文字母或字母组。各字母或字母组的相对位置不变，但其本身改变了。
（2）置换密码
又称换位密码。把明文中的字母重新排序，字母本身不变，但其位置改变了。
2.1 移位密码算法 Shift Cipher
设 M = C = Z26,对任意的 key∈Z26, x∈M, y∈C.
定义ekey(x) = x + key (mod 26)
同时dkey(y) = y - key (mod 26)
注：26个英文字母与模26剩余类集合{0,1,...,25}建立一一对应。
移位密码很容易受到唯密文的攻击。
例子：凯撒密码（key = 3）
若此时明文为venividivici.则密文为：yhqlylglylfl.若解密只需将密文左移三位即可。
2.2 仿射密码算法
加密函数取形式为：e(x) = ax + b (mod 26), a,b∈Z26.
要求唯一解的充要条件是gcd(a,26)=1.
注：之所以要求a与26互素。目的是为了保证逆元存在。同时，因为a与26互素，所以a可取φ(26)个。φ(26)=φ(2)φ(13)=1×12=12.故a可取12个。
该算法描述为：
设 M = C = Z26
K = {(a,b)∈Z26×Z26; gcd(a,26)=1}
对 key=(a,b)∈K, x∈M, y∈C,
定义 ekey(x) = ax + b (mod 26) 和 dkey(y) = a-1(y-b) (mod 26).
在Z26中，满足gcd(a,26)=1的a只有12个值(1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25),因此仿射密码的密钥空间大小为12×26=312个。
对于Z26中与26互素的元素，相应的乘法逆元为：
1-1 mod 26 = 1 3-1 mod 26 = 9 5-1 mod 26 = 21 7-1 mod 26 = 15
9-1 mod 26 = 3 11-1 mod 26 = 19 15-1 mod 26 = 7 17-1 mod 26 = 23
19-1 mod 26 = 11 21-1 mod 26 = 5 23-1 mod 26 = 17 25-1 mod 26 = 25
求逆元过程（以9-1 mod 26 = 3为例）
9·9-1≡1 (mod 26)
9x≡1 (mod 26) 其中x≡9-1 (mod 26)
x = x-1+9-1·26 (mod 26)
= 9-1(1+26) (mod 26)
= 3 (mod 26)
∴ 9-1≡3 (mod 26)
仿射密码算法例子
设 k=(7,3),注意到7-1 mod 26 = 15,
加密函数：ek(x) = 7x + 3 (mod 26)
解密函数：dk(y) = 15(y-3) (mod 26) = 15x-19 (mod 26)
易见 dk(ek(x)) = dk(7x + 3) = 15(7x + 3)-19 = x+45-19 = x (mod 26)
若加密明文为hot，则有如下步骤：
① 转换字母h、o、t为数字7、14、19
② 然后加密：
③ 解密有：
2.3 单表代换密码 —— 分析
（1）密钥量一般比较小，难以抵抗穷尽搜索攻击。
（2）即使密钥量很大，但因为没有将明文字母的频率隐藏起来，所以也很容易受到频数分析法的攻击。
2.4 单表代换的优缺点
优点：
明文字符的形态一般将面目全非。
缺点：
a.明文的位置不变
b.明文字符相同，则密文字符也相同。从而导致：
① 若明文字符被加密成密文字符a,则明文中e的出现次数就是密文中字符a的出现次数；
② 明文的更随关系反映在密文之中。因此，明文字符的统计规律就完全暴露在密文字符的统计规律之中，形态变但位置不变。
2.5 单表代换密码的统计分析举例
密文为：YIFQFMZR...CFWDJNZDIR（共168个字母）
分析：∵Z出现20次，出现的频率约为0.12
∴猜测D(Z)=e
∵出现至少10次的密文字母为C、D、F、J、M、R、Y,出现频率约在0.06到0.095之间
∴猜测{D(C),D(D),D(F),D(J),D(M),D(R),D(Y)}={t,z,o,i,n,s,h,r}...
以此类推
不太明白的话可以参考[2.3_单表代替密码的分析]
2.6 多表代换密码
多表代换密码是一系列（两个以上）代换表依次对明文消息的字母进行代换的方法。可以分为：非周期多表代换密码 和 周期多表代换密码。
非周期多表代换密码：代换表是非周期的无限序列。
周期多表代换密码：代换表个数有限，重复使用。
2.6.1 维吉尼亚密码 Vigenére cipher
设 m 是某固定的正整数，定义P=C=K=(Z26)m,对一个密钥 k=(k1,k2,...,km),定义
ek(x1,x2,...,xm) = (x1+k1,x2+k2,...,xm+km)
dk(y1,y2,...,ym) = (y1-k1,y2-k2,...,ym-km)
且所有的运算都在Z26中。
简单地说，可以将其描述为如下形式：
密钥 K=(k1,k2,...,kn),
明文 P=(p1,p2,...,pn),
密文 C=(c1,c2,...,cn).
加密：ci=pi+ki (mod 26)
解密：pi=ci-ki (mod 26)
密钥一般是一个单词或一句话去除后面的重复字母后构成。
本质：多个移位密码
密钥量：对于n为密钥，密钥量有
例子:
2.6.2 希尔密码 Hill cipher
设m是某个固定的正整数，P=C=(Z26)m,又设K={m×m可逆阵，Z26};对任意k∈K,定义
ek(x) = xk
则dk(y) = yk-1
其中所有的运算都是在Z26中进行。
其中明文、密文和密钥可以写成如下形式：
注意：
k必须满足条件：
1.非奇异矩阵，即|k|≠0,
2.gcd(|k|,26)=1 (mod 26)
加密：
解密：
例子1：
例子2：
介绍完希尔密码后，接下来对希尔密码的特点进行介绍：
（1）完全隐藏了单字母的频数；
（2）字母和数字的对应可以改成其他方案，使得更不容易被攻击成功；
（3）能比较好地抵抗频数法的分析，对抗唯密文攻击强度较高。
2.7 置换密码 Permutation Cipher 或 Transposition Cipher
设m是某个固定的正整数，P=C=(Z26)m,且K由所有{1,2,...,m}的置换组成，对一个密钥（即一个置换∏），定义
e∏(x1,x2,...,xm) = (x∏(1),x∏(2),...,x∏(m))
d∏(y1,y2,...,ym) = (y∏-1(1),y∏-1(2),...,y∏-1(m))
其中∏-1是∏的逆置换。
例子：
在简单对几种古典密码算法进行介绍后，下一篇将介绍密码破译。
标签：...,26,复习,代换,密码,密文,密码学,mod 来源： https://www.cnblogs.com/shirleyya/p/15085036.html