2014

1.引言

结构模式识别的理论基础是根据对象的组成部分（子模式）和它们之间的关系对对象进行分解。
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《Thirty years of graph matching in Pattern Recognition》26

总结了70 年代初开始的几年到 2000 年代初对基于图在模式识别中的应用。
图嵌入和图核，发展基于向量的分类和学习技术（例如源自统计分类和学习理论的技术）
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模式识别中的图

• 图匹配
  精准匹配
  非精准匹配
• 图嵌入
  等距嵌入
  谱嵌入
  基于原型的嵌入
• 图核
• 图聚类
  图的聚类
  基于图的聚类
• 图学习
  图的学习
  基于图的学习
• 其他

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头等问题是：将图匹配问题转变到基于向量的方法，从而可以使用统计学方法
对此有两种思路：

• 完全利用原图本身，算法会很繁重，但图中所有信息都能利用上
• 通过特征提取等方法把图降维成向量，这个过程可能损失不少，但有不错的实验支撑

从而有些权衡二者的方法，比如图编辑距离GED，但这其实也可以看做第一类方法，将图映射为矩阵后还是要考察子结构的上下文信息，而不是直接做先验向量范式

2.图匹配

精确图匹配是搜索两个图的节点之间的映射。它是边保留的，如果第一个图中的两个节点有一条边连接，那第二个图中的相应节点也必须有一条边。
µ : V1 → V2是边保留的，当且仅当∀v, w ∈ V1,(v, w) ∈ E1 ⇒ (µ(v), µ(w)) ∈ E2 ∨ µ(v) = µ(w)
这种边保留的映射也叫作同态homomorphism

单态monomorphism（也叫作边诱导子图同构edge-induced subgraph isomorphism）是单射μ：∀v ≠ w ∈ V1, µ(v) ≠ µ(w)

图同态是单态双射μ，其逆映射也单态

如果G2的节点诱导子图G2’和G1之间有同构μ，那么这个子图同构μ也叫作节点诱导子图同构

最大公共子图问题是搜索G1中与 G2 的子图同构的最大子图（通常是两个子图之间的对应映射）。
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而非精准图匹配对边的约束被放宽，为了纠错或者降低成本，选择近似或次优策略
延拓μ的定义，考虑将节点映射为特殊空节点ε的可能性
这样有第一种架构：

其中CR是节点替换成本，CD是节点删除成本，C’R和C’D是对边的替换、删除成本。
这样匹配问题被转化为最小化成本C，这样精准匹配问题就可以看做一种特例，要求C最小化到0
第二种架构为有权图匹配，将图表示成邻接矩阵，元素为连续值表示两节点间关系
给定两图的邻接矩阵A,B，记Cijkl为两边之间的兼容性张量

记一个匹配矩阵M，如果一图的i节点匹配二图的k节点，则Mik=1，否则为0
这样匹配问题被转化为最大化W

通过调整兼容函数c可以调整精准匹配为特例

2.1 精确匹配

2003 De Santo et al. 138
对图同构和图子图同构的四种精确算法进行了广泛的比较评估

大多数现有的精确匹配算法都是基于某种形式的树搜索，其中匹配构建自一个空映射，一次添加一对节点，通常有回溯的可能性，并使用启发式算法来避免完整探索所有可能匹配的空间。

2007 年，Konc and Janeˇziˇc 87
提出了 MaxCliqueDyn，这是一种改进算法，用于寻找最大集团（以及最大公共子图），它使用分支和边界，结合近似图着色来寻找紧密边界以修剪搜索空间。

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2.2 非精准匹配

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尽管原则上GED与匹配无关，但实际上大多数方法通过为编辑操作（即没有添加或删除但可能更改）保留的节点找到匹配来计算距离；
给定这种匹配，编辑距离可以通过对匹配节点及其边的项与剩余节点/边的项的求和得到获得
所以通常算法的结果不仅表明图之间距离，而且是应该最小化该距离值的匹配。
因此本节包含一些GED方法

2.2.1 基于树搜索的技术

2.2.2 连续优化

2.2.3 谱方法

2.2.4 其他方法

3.其它问题

Bunke et al. 12 in 2005
关于图内核和其他图相关技术的综述
Bunke and Riesen 14、15 in 2011、2012
综述评论图嵌入和图核

不过虽然图嵌入和图核能降低复杂度，但又引入其他计算成本导致最终成本反而可能更大

3.1 图嵌入

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3.1.1 等距嵌入

3.1.2 谱嵌入

3.1.3 子模式嵌入

3.1.4 基于原型的嵌入

3.2 图核

3.3 图聚类

3.4 图学习

3.5 其余问题

4.总结

GED作为一种将许多统计模式识别方法应用于图的技术发挥了核心作用：例如NN、LVQ 和 Kmeans。
现在作为瓶颈出现的问题主要有两个：GED在计算上是指数量级，就算是求近似解成本仍然很高。经常有需要多次评估编辑距离的情形，这下问题更加严峻。可能GED还没有嵌入到适当的连续空间中：图是点，但点之间什么也没有。

近年来有无数研究图核的方法，将核方法应用到图领域充满希望，但仍缺乏足够的理论支撑（黑箱神经网络说啥了）

而嵌入方法则有如此质疑：已经用图结构化表示数据了，再转回向量还合适吗

标签：嵌入,last,图同构,ten,Graph,GED,匹配,方法,节点
来源： https://blog.csdn.net/weixin_40459958/article/details/119273785