递推（经典例题），做完了就差不多懂了

递推例题
在这之前，我们先了解一下递推的基本原理

举一个生活中的例子：

你要上楼梯（每层楼有20个台阶，1楼没有架空）

你想上到3楼，你要从1-2-3这个顺序爬到3楼（你坐电梯的话当我没说）

你从1到2，再从2到3

换句话说，你走到第2楼是在你身处第1楼的情况下才能有的，走到第3楼是你在你身处第2楼的情况下才有的

这样就可以得到一个十分简单的递推式：f(i)代表你走到第i楼所走的台阶数，一共要走n楼

f(i)=f(i-1)+20, 1≤i≤n

一般的递推包含3个部分

1、分析出递推式

2、确定变量范围

3、初始化
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题目描述
用1 x 1和2 x 2的磁砖不重叠地铺满N x 3的地板，共有多少种方案？
输入
一个数字N<=1000
输出
所求的答案mod 12345.
样例输入
2
样例输出
3

看完题，第一想法是递归

但是N的取值范围忒大了，时间复杂度估一下就知道会爆

这时候递推的好处就体现出来了，通常的递归都差不多在O(N²)、O(NlgN)、O(N)左右的时间内求出答案，这正是我们当前所想要的

先找一下规律（一定要记得用草稿纸）：

这有点类似于小学奥数的通项公式

定义递推式：F(i)=在i * 3的地板中按照题目要求所有的铺法数量

F(i)=2 × F(i-2)+F(i-1)

现在就完成了递推的第一个部分（递推式）

递推式有两种求法：

1是找规律（容易错

2是直接想

像这一题，i×3的地板中的铺法

要么是把上一行和这一行变成一个2×2的加两个1×1的

而且2×2地砖是有两种摆法，所以当前i列的摆法要先加上两个i-2时的铺法：

f[i]+=f[i-2]*2;

如图：

或者是在当前列只铺三个1×1的地砖：

而且只有一种铺法，所以当前i列的摆法要再加上两个i-1时的铺法：

f[i]+=f[i-1];

如图：

然后把i的范围求出来：

很显然，i至少要是3

3≤i≤n

第二个部分完成

然后是初始化，套用草稿上的东西完成初始化，f[1]=1,f[2]=3;

	f[1]=1;
	f[2]=3;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		f[i]=f[i-2]*2+f[i-1];

原题上还要取模，自行修改

接下来还有几题：

题目描述
从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？
输入
一个数字N<=1000
输出
一个数表示所求答案mod 12345.
样例输入
2
样例输出
7

定义递推式 (i,j)等于第i步是从j方向过来的方案数

j的取值：0 =从下面上来的 1=从右边往左边来的 2=从左边往右边来的

例如：f[3][0]代表第三步是从下面上来的方案数

通过画图发现，无论怎样走，不可能从中途走重复路，例如：

要想从中间走重复路，只能往下，所以不存在上图中走回头路的情况

那走回头路的情况只有：

先往左走，再往右走

以及

先往右走，再往左走

所以到达每一步的方式是有限的

f（当前第i步，从下面上来的情况）=上一步中上、左、右三种可能的方案之和

f（当前第i步，从左边过来的情况）=上一步中上、左两种可能的方案之和 （如果上一步是往右，这一步就会走回头路）

f（当前第i步，从右边过来的情况）=上一步中上、右两种可能的方案之和（跟左边过来的的同理）

由此推出方程

（0代表从下面上来，1代表从左边过来，2代表从右边过来

f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2];
f[i][1]+=f[i-1][0]+f[i-1][1];
f[i][2]+=f[i-1][0]+f[i-1][2];

1≤i≤n

时间复杂度 O(N)

f[1][0]=1;
f[1][1]=1;
f[1][2]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
	f[i][0]+=(f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2])%12345;
	f[i][1]+=(f[i-1][0]+f[i-1][1])%12345;
	f[i][2]+=(f[i-1][0]+f[i-1][2])%12345;
}
printf("%d",(f[n][0]+f[n][1]+f[n][2])%12345);

第三题：
题目描述
在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？

输入
一个整数N<=1000

输出
输出一个数表示答案mod 12345.

样例输入
2

样例输出
73

这题按照上面的两种方法可以自己想想递推式

	f[1]=9;
	f[2]=73;
	f[3]=674;
	h[3]=900;
	for(int i=4;i<=n;i++)
	{
		h[i]=h[i-1]*10;
		f[i]=f[i-1]*9+(h[i-1]-f[i-1]);
		f[i]%=12345;
		h[i]%=12345;
	}

第四题：

题目描述
圆周上有N个点。连接任意多条（可能是0条）不相交的弦（共用端点也算相交）共有多少种方案？

输入
读入一个数N。1<=N<=1000。

输出
输出这个答案mod 12345的值。

样例输入
4

样例输出
9

	f[0]=1;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=f[i-1];
		int uck=0;
		for(int j=i-2;j>=0;j--)
		{
			f[i]+=f[j]*f[uck];
			f[i]%=12345;
			uck++;
		}
	}

第五题：
题目描述
在网格中取一个N x 1的矩形，并把它当作一个无向图。这个图有2(N+1)个顶点，有3(N-1)+4条边。这个图有多少个生成树？答案 mod 12345 后输出。

输入
样例输入：1

输出
答案 mod 12345 后输出。

样例输入
1

样例输出
4

	f[0]=1;
	f[1]=4;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]*4-f[i-2]+12345;
		f[i]%=12345;
	}

可以发现，递推的题目大部分解法都是三个步骤：递推式->变量范围->初始化

以后大部分的题目不会单独递推，递推会变为一个步骤

所以对比繁琐亢长的递归，递推显然简洁

标签：输出,int,递推,样例,经典,例题,12345,输入
来源： https://blog.csdn.net/Tudou_Pika/article/details/118681477