[gym102220I]Temperature Survey
作者：互联网
（为了方便，以下记$a_{0}=0,a_{n+1}=n$，并将$n$加上1）
构造一个$n$行的网格图，从上到下第$i$行有$a_{i}$个格子，格子左对齐
记第$i$行第$j$个格子为$(i,j)$，格子集合$\{(i,j)\mid i_{1}\le i\le i_{2}$且$j_{1}\le j\le j_{2}\}$为$([i_{1},i_{2}],[j_{1},j_{2}])$
此时，考虑一条从$(1,1)$到$(n,a_{n})$的路径（只能向下或向右），令$b_{i}$为路径中从第$i$行到第$i+1$行时的格子编号，不难发现这样的路径与合法的$b_{i}$一一对应，那么不妨统计路径数
关于路径数，显然可以dp解决，即令$f_{i,j}$表示从$(1,1)$到$(i,j)$的路经数，则$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j}$
使用分治优化dp转移，当分治到区间$[l,r]$时，需要根据$f_{[l,r],a_{l-1}}$的值求出$f_{r,(a_{l-1},a_{r}]}$的值
具体的，分治过程如下——
1.令$mid=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$，递归左区间$[l,mid]$，根据$f_{[l,mid],a_{l-1}}$的值求出$f_{mid,(a_{l-1},a_{mid}]}$的值
2.根据$f_{(mid,r],a_{l-1}}$和$f_{mid,(a_{l-1},a_{mid}]}$的值，快速求出$f_{(mid,r],a_{mid}}$和$f_{r,(a_{l-1},a_{mid}]}$的值
3.递归右区间$(mid,r]$，根据$f_{(mid,r],a_{mid}}$的值求出$f_{r,(a_{mid},a_{r}])}$的值
（其中，第二步显然可以写成卷积的形式，直接ntt即可）
边界条件：若$l>r$直接退出，若$l=r$令$f_{l,(a_{l-1},a_{r}]}=f_{l,a_{l-1}}$并退出
另外，有一些细节问题：
1.为了避免位置不合法，需要保证$a_{l-1}<a_{l}$，若不满足则不断增加$l$即可
2.关于$f$的存储，只需要用两个数组，分别存储当前每一行/列递归到最右边的一列/行的$f$值即可
总复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 200005
4 #define mod 998244353
5 #define ll long long
6 #define vi vector<int>
7 vi v,vl,vu;
8 int t,n,fac[N<<1],inv[N<<1],rev[N<<3],a[N],f[N],ans[N];
9 int c(int n,int m){
10 return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
11 }
12 int qpow(int n,int m){
13 int s=n,ans=1;
14 while (m){
15 if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
16 s=(ll)s*s%mod;
17 m>>=1;
18 }
19 return ans;
20 }
21 void ntt(vi &a,int n,int p){
22 for(int i=0;i<(1<<n);i++)
23 if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
24 for(int i=2;i<=(1<<n);i<<=1){
25 int s=qpow(3,(mod-1)/i);
26 if (p)s=qpow(s,mod-2);
27 for(int j=0;j<(1<<n);j+=i)
28 for(int k=0,ss=1;k<(i>>1);k++,ss=(ll)ss*s%mod){
29 int x=a[j+k],y=(ll)a[j+k+(i>>1)]*ss%mod;
30 a[j+k]=(x+y)%mod;
31 a[j+k+(i>>1)]=(x+mod-y)%mod;
32 }
33 }
34 if (p){
35 int s=qpow((1<<n),mod-2);
36 for(int i=0;i<(1<<n);i++)a[i]=(ll)a[i]*s%mod;
37 }
38 }
39 vi mul(vi a,vi b){
40 int n=0,m=a.size()+b.size()-1;
41 while ((1<<n)<m)n++;
42 for(int i=0;i<(1<<n);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+((i&1)*(1<<n)/2);
43 while (a.size()<(1<<n))a.push_back(0);
44 while (b.size()<(1<<n))b.push_back(0);
45 ntt(a,n,0);
46 ntt(b,n,0);
47 for(int i=0;i<(1<<n);i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
48 ntt(a,n,1);
49 return a;
50 }
51 void calc(int l,int r){
52 while ((l<=r)&&(a[l-1]==a[l]))l++;
53 if (l>r)return;
54 if (l==r){
55 for(int i=a[l-1]+1;i<=a[r];i++)ans[i]=f[l];
56 return;
57 }
58 int mid=(l+r>>1);
59 calc(l,mid);
60 vl.clear(),vu.clear();
61 for(int i=mid+1;i<=r;i++)vl.push_back(f[i]);
62 for(int i=a[l-1]+1;i<=a[mid];i++)vu.push_back(ans[i]);
63
64 v.clear();
65 for(int i=0;i<r-mid;i++)v.push_back(c(i+a[mid]-a[l-1]-1,i));
66 v=mul(v,vl);
67 for(int i=0;i<r-mid;i++)f[i+mid+1]=v[i];
68
69 v.clear();
70 for(int i=0;i<r-mid+a[mid]-a[l-1]-1;i++)v.push_back(fac[i]);
71 for(int i=0;i<r-mid;i++)vl[i]=(ll)vl[i]*inv[r-mid-1-i]%mod;
72 v=mul(v,vl);
73 for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)ans[i+a[l-1]+1]=(ll)v[i+r-mid-1]*inv[i]%mod;
74
75 v.clear();
76 for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)v.push_back(c(i+r-mid-1,i));
77 v=mul(v,vu);
78 for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)ans[i+a[l-1]+1]=(ans[i+a[l-1]+1]+v[i])%mod;
79
80 v.clear();
81 for(int i=0;i<r-mid+a[mid]-a[l-1]-1;i++)v.push_back(fac[i]);
82 for(int i=0;i<a[mid]-a[l-1];i++)vu[i]=(ll)vu[i]*inv[a[mid]-a[l-1]-1-i]%mod;
83 v=mul(v,vu);
84 for(int i=0;i<r-mid;i++)f[i+mid+1]=(f[i+mid+1]+(ll)v[i+a[mid]-a[l-1]-1]*inv[i])%mod;
85 calc(mid+1,r);
86 }
87 int main(){
88 fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
89 for(int i=1;i<(N<<1);i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
90 for(int i=2;i<(N<<1);i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
91 for(int i=1;i<(N<<1);i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
92 scanf("%d",&t);
93 while (t--){
94 scanf("%d",&n);
95 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
96 n++,a[n]=n;
97 for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=ans[i]=0;
98 f[1]=1;
99 calc(1,n);
100 printf("%d\n",ans[n]);
101 }
102 return 0;
103 }
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标签：le,Temperature,格子,int,mid,gym102220I,Survey,define,mod 来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15057747.html