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【题解】P5094 - Moofest

2021-07-24 23:33:32 作者：互联网

题目大意

给定$n$头奶牛，已知每头奶牛有其对应的听力和位置坐标。设$v_{i}$为第$i$头奶牛的听力，$x_{i}$为第$i$头奶牛的坐标。设$dis(i, j)$为第$i$头奶牛和第$j$头奶牛的坐标之差，则一对奶牛谈话需要的音量为$max(v_{i}, v_{j}) \times dis(i, j)$。试求所有的$n \times (n - 1) \div 2$头奶牛谈话需要的最小音量总和。

解题思路

显然，~~通过对算法标签的分析~~，我们可以知道这道题是一道数据结构题。

题目给出的式子过于繁琐，考虑尽量简化这个式子。显然，$max(v_{i}, v_{j})$这一项是比较容易简化的。假设我们将所有的奶牛按听力从小到大排序，那么对于一对奶牛$(i, j)$，在$i < j$的情况下，它们交谈所需要的听力显然是$v_{j}$。因此，我们可以通过按听力从小到大排序来简化$max(v_{i}, v_{j})$这一项。

如果按听力从小到大排序，那么我们在考虑第$i$头奶牛对音量总和的贡献时，仅考虑第$1$头奶牛至第$i - 1$头奶牛与第$i$头奶牛谈话的音量，最后也能求出所有$n \times (n - 1) \div 2$对奶牛的音量总和。

接下来，我们考虑$dis(i, j)$这一项的求解。显然，假设$i < j$，则对于所有这样一对奶牛$(i, j)$，$v_{i}$一定小于$v_{j}$，但是$x_{i}$可能大于等于$x_{j}$。因此，我们需要分类讨论，将第$i$头奶牛前的奶牛分成两类：

$j < i, x_{j} < x_{i}$
$j < i, x_{j} \geq x_{i}$

我们可以维护两个信息：第$i$头奶牛前，坐标值小于$x_{i}$的奶牛的数量；第$i$头奶牛前，坐标值小于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和。设$t1_{i}$为坐标值小于$x_{i}$的奶牛的数量，$t2_{i}$为坐标值小于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和。

我们可以推算出第$i$头奶牛前，坐标值大于等于$x_{i}$的奶牛的总数：奶牛总数$i$ $ - $ 坐标值小于$x_{i}$的奶牛总数 $ - $ $1$。设$sum$为$\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} x_{j}$，则第$i$头奶牛前所有坐标值大于等于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和为$sum$ $ - $ 坐标值小于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和。

每次修改时，我们在数据结构$1$中$x_{i}$的位置加上$1$，表示这个坐标的奶牛又出现了一次；在数据结构$2$中$x_{i}$的位置加上$x_{i}$。这样，我们每次查询时，只需要查找$x_{i}$位置前，数据结构$1$的前缀和即可求出坐标值小于等于$x_{i}$的奶牛总数，查找数据结构$2$的前缀和即为所有坐标值小于等于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和。

抓住关键词前缀和，我们可以在知识库里检索出有相应特征的数据结构：树状数组。我们用两个树状数组分别维护上文提到的两个信息，即可方便快捷地求出每一头奶牛对音量总和的贡献。

我们设$cnt$为第$i$头奶牛前坐标值小于$x_{i}$的奶牛数量，$sum$为第$i$头奶牛前坐标值小于$x_{i}$的奶牛的坐标值之和，$pos$为$\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} x_{j}$。则第$i$头奶牛与第$i$头奶牛前坐标值小于$x_{i}$的奶牛的距离总和为$cnt \times x_{i} - sum$，第$i$头奶牛与第$i$头奶牛前坐标值大于等于$x_{i}$的奶牛的距离总和为$(pos - sum) - (i - cnt - 1) \times x_{i}$。第$i$头奶牛的贡献即为$(cnt \times x_{i} - sum) \times v_{i} + \left[(pos - sum) - (i - cnt - 1) \times x_{i}\right] \times v_{i}$。累加所有奶牛的贡献，就是最终谈话的音量总和。

最后提出一个容易错误的点，如果有同学的样例输出$53$，说明树状数组的上界没有弄清楚。树状数组更新的位置为$x_{i}$，即奶牛的坐标。因此，树状数组的上界应该是$max(x_{i})$而非$n$。

参考代码

在此附上本人的$AC$代码，仅供参考，请勿抄袭：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 50005
#define int long long

struct node
{
	int voise, pos;
}cow[maxn];

int n, m;
int cnt[maxn], sum[maxn];

bool cmp(node a, node b)
{
	return a.voise < b.voise;
}

int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}

void add_cnt(int p, int x)
{
	for (int i = p; i <= m; i += lowbit(i))
		cnt[i] += x;
}

int query_cnt(int p)
{
	int Sum = 0;
	for (int i = p; i; i -= lowbit(i))
		Sum += cnt[i];
	return Sum;
}

void add_sum(int p, int x)
{
	for (int i = p; i <= m; i += lowbit(i))
		sum[i] += x;
}

int query_sum(int p)
{
	int Sum = 0;
	for (int i = p; i; i -= lowbit(i))
		Sum += sum[i];
	return Sum;
}

signed main()
{
	int pos_sum = 0, ans = 0;
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%lld%lld", &cow[i].voise, &cow[i].pos);
		m = max(m, cow[i].pos);
	}
	sort(cow + 1, cow + n + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int cnt = query_cnt(cow[i].pos);
		int sum = query_sum(cow[i].pos);
		ans += (cnt * cow[i].pos - sum) * cow[i].voise;
		ans += ((pos_sum - sum) - (i - cnt - 1) * cow[i].pos) * cow[i].voise;
		add_cnt(cow[i].pos, 1);
		add_sum(cow[i].pos, cow[i].pos);
		pos_sum += cow[i].pos;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

这是蒟蒻的第一篇题解，如果有描述不清楚的地方请多多见谅，本人也会继续努力，写出质量更高的题解。

标签：小于,int,题解,sum,times,Moofest,坐标值,奶牛,P5094
来源： https://www.cnblogs.com/Ling-Lover/p/p5094.html