天体运动

牛顿说过 有种东西叫万有引力

我因为你开始相信 那些大道理

万有引力

牛顿提出的万有引力定律：

\[F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2} \]

式子中的 \(G\) 是万有引力常量，卡文迪许测得：\(G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2\cdot kg^{-2}\)。

开普勒三大定律

1. 轨道定律：轨道为椭圆
2. 面积定律：相同时间内连线扫过面积相等（本质为角动量守恒 \(L=mvr\)）
3. 周期定律：\(a^3\) 与 \(T^2\) 成正比

万有引力与重力

容易推出：

\[gR^2=GM \]

引理势能

定义无穷远出引理势能为 \(0\)，根据做功可以推出引力势能公式。容易发现，\(E\) 是负值。

\[E=-\dfrac{GMm}{r} \]

一般的天体运动满足机械能守恒，也就是动能与引力势能的和相等。容易据此列式。

圆周运动

当天体在圆周运动时，一部分量的关系如下：

\[a=G\dfrac{M}{r^2} \]

\[v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \]

\[w=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}} \]

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}} \]

容易发现，当 \(a\) 增大时，\(w\) 增大，\(v\) 增大，\(r\) 减小，\(T\) 减小。这些量都与卫星质量 \(m\) 无关。

人造卫星的椭圆圆心与地心重合。

宇宙速度

• 第一宇宙速度：卫星发射的最小速度 \(v_1=\sqrt{gR}=7.9\text{ km/s}\)
• 第二宇宙速度：脱离地球引力，又称脱离速度 \(v_2=\sqrt{2} v_1=11.2\text{ km/s}\)
• 第三宇宙速度：脱离太阳引力，又称逃逸速度 \(v_3=16.7\text{ km/s}\)

双星系统问题

显然 \(w_1=w_2\)。

对两颗星分别分析：以 \(m_1\)为例，\(\dfrac{Gm_1m_2}{L^2}=m_1\dfrac{4\pi^2}{T^2}r_1\)

条件：\(r_1+r_2=L\)

可以等效为重心有一颗质量为 \(m'\) 的星体，列得 \(F=\dfrac{Gm_1m'}{r_1^2}\)

椭圆轨道

椭圆轨道的焦点之一是地心。

在椭圆轨道上，假设左焦点是中心天体，考虑左右两个顶点，满足机械能守恒与角动量守恒。故：

\[E=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r} \]

\[L=mvr \]

根据两根为 \(r1=a-c\)，\(r2=a+c\)。用韦达定理即可得：

\[E=-\dfrac{GMm}{2a} \]

\[v=\sqrt{2GM(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{2a})} \]

上述两个公式经常使用，加快运算，我暂且称为 「椭圆轨道上的能量公式」和「椭圆轨道上的速度公式」。

设椭圆的上顶点为 \(\text{D}\)。根据上面的公式易得：

\[v_D=\sqrt{\dfrac{GM}{a}} \]

实际解题时：

• 最常用的方法是找到两个特殊点 \(\text{A B}\)，代入机械能守恒与角动量守恒。如果方便可以直接套用上方公式，加快解题速度。

• 有时考虑可以椭圆的几何意义，求出最值。

• 对于两个物体在某轨道上运行后分开，各自分到不同轨道上的类型题目：

  • 对于初始轨道，列圆周运动向心力： \(F_引=m \dfrac{v^2}{r}\) ①
  • 对于脱离瞬间，列动量守恒： \(m_总v_0=m_1v_1+m_2v_2\) ②
  • 对于脱离之后轨道，对两个物体分别列 「椭圆轨道上的能量公式」：\(-\dfrac{GMm}{2a}=E_p+E_k\) ③
  • 对于两次或三次周期，列开普勒第三定律：\(\dfrac{T_1^2}{r_1^3}=\dfrac{T_2^2}{r_2^3}\) ④

• 对于一般的变轨问题（例如加速，由圆周变为椭圆），也可套用上面的公式 ①③④。

• 如果给定是 \(r,T\) 而非 \(M\)，考虑通过 \(\dfrac{GMm}{r^2}=m \dfrac{4\pi^2}{T^2}{r}\) 替代 \(GM\)，同时 \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\)。

标签：椭圆,守恒,dfrac,天体,sqrt,专题,轨道,GM,物理
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