数据结构之树

前言

数据结构中，树非常重要，在此记录学习

参考文章：

1. 【数据结构】数据结构中常用的树
2. 数据结构中"树"的全面讲解
3. 常用数据结构——树

1. 树的定义

树是一种非线性的数据结构，是由n（n >=0）个结点组成的有限集合。

特点：

• 每个结点有零个或多个子结点；
• 没有父结点的结点称为根结点；
• 每一个非根结点有且只有一个父结点；
• 除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树；

术语：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
• 节点深度：对任意节点x，x节点的深度表示为根节点到x节点的路径长度。所以根节点深度为0，第二层节点深度为1，以此类推
• 节点高度：对任意节点x，叶子节点到x节点的路径长度就是节点x的高度
• 树的深度：一棵树中节点的最大深度就是树的深度，也称为高度
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
• 节点的层次：从根节点开始，根节点为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
• 兄弟节点：拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点
  度：节点的子树数目就是节点的度
• 祖先：对任意节点x，从根节点到节点x的所有节点都是x的祖先（节点x也是自己的祖先）
• 后代：对任意节点x，从节点x到叶子节点的所有节点都是x的后代（节点x也是自己的后代）
• 森林：m颗互不相交的树构成的集合就是森林

2. 二叉树

每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
性质：

• 1.若二叉树的层次从0开始，则在二叉树的第i层至多有2^i个结点(i>=0)
• 2.高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)(空树的高度为-1)
• 3.对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1

2.1 二叉树的种类

• 满二叉树
  叶子节点都在同一层并且除叶子节点外的所有节点都有两个子节点。
  

• 完全二叉树
  对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除第d层外的所有节点构成满二叉树，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
  

• 霍夫曼树
  带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树。

• 二叉查找树（二叉搜索树、二叉排序树、BST）
  性质：

  • 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
  • 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
  • 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
    

• 平衡二叉树 AVL
  是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，同时，平衡二叉树必定是二叉搜索树。
  
  使用场景：

  • AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。
  • 也在Windows进程地址空间管理中得到了使用
  • 旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡

• B树/B-树
  一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。
  能够保证数据有序。同时它还保证了在查找、插入、删除等操作时性能都能保持在O(logn)，为大块数据的读写操作做了优化,同时它也可以用来描述外部存储(支持对保存在磁盘或者网络上的符号表进行外部查找)
  它或者是空树
  特点：

• 1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2

• 2.根结点的儿子数为[2, M]

• 3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]

• 4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

• 5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1

• 6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]

• 7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]，其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树

• 8.所有叶子结点位于同一层
  

• B+树
  B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树
  B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
  区别：

  • B+树 有n棵子树的结点中含有n个关键字，每个关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点；
  • B+树 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接

特性：

• 1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的
• 2.不可能在非叶子结点命中
• 3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
• 4.更适合文件索引系统
  原因： 增删文件（节点）时，效率更高，因为B+树的叶子节点包含所有关键字，并以有序的链表结构存储，这样可很好提高增删效率
  

B树：有序数组+平衡多叉树
B+树：有序数组链表+平衡多叉树

• 红黑树
  红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。
  通过对任何一条从根到叶子的简单路径上各个结点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是近似于平衡的。

2.2 二叉树的遍历

• 中序遍历：即左-根-右遍历，对于给定的二叉树根，寻找其左子树；对于其左子树的根，再去寻找其左子树；递归遍历，直到寻找最左边的节点i，其必然为叶子，然后遍历i的父节点，再遍历i的兄弟节点。随着递归的逐渐出栈，最终完成遍历
• 先序遍历：即根-左-右遍历
• 后序遍历：即左-右-根遍历
• 层次遍历：从根节点依次往下一层一层遍历

标签：结点,遍历,叶子,关键字,之树,二叉树,数据结构,节点
来源： https://blog.csdn.net/weixin_45063703/article/details/118879956