直角三角形中三边的幂的关系

对于任意一直角三角形，设三边分别为\(a,b,c\)(其中\(c\)为斜边)，设\(n\)为正整数，求\(a^{n}、b^{n}、c^{n}\)之间的关系
①当\(n=1\)时，显然有\(a+b>c\)，对于任何形状的三角形均成立
②当\(n=2\)时，由勾股定理可知，\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)
③当\(n\ge3\)时，有\(a^{n}+b^{n}<c^{n}\)，现对该情况给出两种证明：
Proof 1
令\(a\le b<c\)
当\(n=3\)时，因为有\(a\times a^{2}\le b\times a^{2}\)，在不等式两边同时加上\(b^{3}\):

\(a^{3}+b^{3}\le ba^{2}+b^{3}=b(a^{2}+b^{2})=bc^{2}<c^{3}\)即\(a^{3}+b^{3}<c^{3}\)
假设\(a^{k}+b^{k}<c^{k}\) \((k>3且k\in \mathbb{N}^+)\)
当\(n=k+1\)时，类比可得

\[a^{k+1}+b^{k+1}\le b(a^{k}+b^{k})<bc^{k}<c^{k+1} \]

即

\[a^{k+1}+b^{k+1}<c^{k+1} \]

所以当\(n\ge3\)时，\(a^{n}+b^{n}<c^{n}\)

Proof 2
设边 \(a\) 所对锐角为 \(\theta\) ，则 \(a=c\times \sin\theta\) ， \(b=c\times \cos\theta\)
所以 \(a^{n}=c^{n}\sin^{n}\theta\)， \(b^{n}=c^{n}\cos^{n}\theta\)， \(a^{n}+b^{n}=c^{n}(\sin^{n}\theta+\cos^{n}\theta)\)
因为 \(0<\theta<90\) ，所以 \(0<\sin\theta<1\) ， \(0<\cos\theta<1\)
所以 \(\sin^{2}\theta>\sin^{n}\theta\)，\(\cos^{2}\theta>\cos^{n}\theta\)
\(c^{n}(\sin^{n}\theta+\cos^{n}\theta)<c^{n}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=c^{n}\)
即 \(a^{n}+b^{n}<c^{n}\)

标签：三边,关系,cos,le,ge3,times,直角三角形,theta,sin
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