二维费用的零一背包问题（动态规划）

1. 问题描述：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。
每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi，mi，wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0< N≤ 1000
0< V，M ≤100
0< vi，mi ≤ 100
0< wi ≤ 1000
输入样例
4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6
输出样例：
8

来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/8/

2. 思路分析：

这道题目属于经典的二维费用的零一背包问题，是一维零一背包的扩展，一维的时候只有一个背包的体积，二维的时候多了一个背包最大重量的限制，一维的时候使用一维的数组来表示对应的状态，其中dp[i]表示体积为i的背包的最大价值，所以在二维的时候可以使用二维的数组或者列表来表示对应的状态，其中dp[i][j]表示体积为i重量为j的情况下背包的最大价值，这个过程类似于一维零一背包问题，因为多个一个重量的限制所以我们需要使用三重循环来进行状态的计算。第一重循环枚举当前的n个物品，第二重循环枚举体积，第三重循环枚举重量。因为是零一背包问题所以我们在枚举的时候需要逆序枚举体积和重量这样才可以保证物品是选择一次的。

3. 代码如下：

if __name__ == '__main__':
    n, v, m = map(int, input().split())
    # dp[i][j]表示体积为i重量为j的最大价值
    dp = [[0] * 110 for i in range(110)]
    for i in range(n):
        # a, b, c分别表示第i件物品的体积, 重量和价值
        a, b, c = map(int, input().split())
        for j in range(v, a - 1, -1):
            for k in range(m, b - 1, -1):
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - a][k - b] + c)
    print(dp[v][m])

标签：零一,背包,重量,枚举,二维,体积,dp
来源： https://blog.csdn.net/qq_39445165/article/details/118597543