【文献阅读】P. Burgholzer 利用非负性和稀疏性打破光声成像的分辨率限制

摘要

光声成像的空间分辨率随着成像深度的增加而降低，导致深度结构的图像模糊。除了技术上的限制，最终的分辨率限制来自于热力学第二定律。光产生的声波在从成像结构到样品表面的过程中通过散射和耗散而衰减，导致熵的增加。对于嵌入在衰减介质中的结构所造成的空间分辨率损失，可以通过利用额外可用信息的数值方法进行补偿。在这篇文章中，我们利用在脂肪组织中传播的一维(1D)平面声波的实验数据来证明这一点。声波由纳秒激光脉冲光诱导，并用压电换能器测量。一维补偿的实验结果也适用于声衰减介质中的二维或三维光声成像，重构问题分为两个步骤:首先，通过对每个探测器信号的一维衰减补偿确定理想信号，即未衰减波动方程的解。在第二步中，任何对未衰减数据的超声重建方法都可以用于图像重建。为了重建研磨到硅片表面的小步骤，允许产生两个带有小时间偏移的光声脉冲，我们利用了非负性和稀疏性，并反转了测量的、频率相关的脂肪组织声衰减。与截止频率下的衍射极限相比，我们能够提高20mm猪脂肪组织成像的空间分辨率至少为两倍。

介绍

光声成像的分辨率设置

光声成像原理是利用半透明和混浊材料内的光吸收结构在光照后迅速升温的热弹性膨胀。与依赖于弹道光子的纯光学成像方式相比，它允许同时进行光吸收对比的声分辨率，并能够检测血红蛋白、脂质、水和其他吸收光的发色团，具有更大的穿透深度。在光声层析成像中，使用放置在样品表面的超声探测器阵列或通过在样品表面移动单个探测器来对声压场的时间演化进行采样。从测量的压力信号，通过解决反源问题重建组织内的光学吸收图像。

本文研究了猪脂肪组织光声成像的可实现空间分辨率。在大于弹道光子范围的深度，即组织中超过几百微米的深度，光被散射几次，光声成像的空间分辨率受到声衰减的限制，而声衰减是由声吸收、声弥散和声散射引起的。空间分辨率随着深度的增加而降低，因为较高的声波频率(波长更小，分辨率更高)比较低的频率衰减更强。根据经验，成像深度与最佳空间分辨率的比值大致不变，其值为200。虽然声音衰减定义了最终的空间分辨率限制，但其他因素，如探测器带宽、元件尺寸和在样品表面记录声信号的区域(检测孔径)，在实践中可能是限制因素。

早在2005年，La Riviere等人就提出了一个积分方程，将存在衰减的给定换能器位置上的测量声信号与没有衰减的理想信号联系起来。频率相关的衰减用复波矢量的虚部来描述，并在频率上表现出幂律特性。Ammari等人后来用波动方程直接给出了这个积分方程的紧致推导，它对所有维度都同样有效。此外，二维或三维声衰减和弥散的补偿总是可以简化为一维问题，分为两个阶段:首先，对于每个探测器位置，从测量信号中计算出没有衰减的理想信号。这是一个一维(1D)重建问题。在第二步中，任何没有声衰减的光声层析重建方法，如时间反转或反向投影，都可以用于高维重建。因此，研究一维声波的声学衰减和一维声波的重建就足够了。高维声衰减的补偿总是可以减少到一维，这对于来自层(1D)、圆柱(2D)和球(3D)的信号也显式地显示出来。

Dean-Ben等人将声衰减引起的信号振幅降低和扩宽受换能器带宽和声速空间相关的影响进行了比较，建立了空间相关衰减的修正项。Kowar和Scherzer提出了不同波动方程[12]的声衰减补偿。Burgholzer等人利用时间反转有限差分法直接补偿了光声层析成像中的衰减[4,13,14]。受地震学衰减补偿的启发，Treeby提出了一种利用时变滤波[17]进行光声层析成像衰减补偿的新方法。

在数学上，频率相关的声衰减补偿是一个不适定的逆问题，其中截止频率是一个适当的正则化参数。这种不合理的物理原因是热力学第二定律:声波衰减是一个不可逆的过程，熵的产生，即波传播过程中由于衰减而产生的能量衰减除以温度，等于重建图像[14]的信息损失。**由于熵产生而造成的信息损失不能用数学方法来补偿。**由于重建图像的信息量与空间分辨率有很强的相关性，这导致了热力学原理的基本分辨率限制。非平衡热力学描述了熵产生和信息损失之间的联系，例如[18]，正如我们已经阐述的热扩散[19,20]，我们也可以确定阻尼声波在水中[21]的截止频率。

在频率空间上，频率高于该截止频率的波分量的信息量很低，无法与均衡分布进行统计区分。这就相当于样品表面上的声波振幅被抑制在噪声水平[21]以下。因此，空间分辨率的极限成为衍射极限，根据奈奎斯特，在这个截止频率[21]时，它是波长的一半。同样的截止频率可以从熵的产生和噪声-波动中确定，这不仅仅是一个幸运的巧合，而是从统计物理学中描述的波动-耗散关系中得出的结果。空间分辨率受衍射限制，对应于截止频率处的波长。为了达到补偿实验声衰减的热力学分辨极限，有必要对宽带超声进行测量，对组织或液体的衰减参数非常精确[22]，并对现有的数学模型进行评估，以得到充分的衰减描述。
对于在测量频率范围内使用的猪脂肪组织，幂律很好地描述了衰减与频率的关系。然而，我们强调，所提出的评估主分辨率极限的方法适用于任何用复数波数描述的声波衰减模型。

打破分辨率限制

如果使用额外的信息，就可以克服基本的分辨率限制。在光学成像中，受激发射耗尽(STED)显微镜首次克服了衍射极限。虽然光学成像的分辨率有了明显的提高，但在许多其他成像方式的高分辨率成像的发展仍有快速的进展。定位显微镜是利用散射微泡代替荧光分子作为点光源来实现超分辨率超声成像的一种方法。超快定位显微镜允许超分辨率的超声成像的血管在整个器官。对于(准)扩散域的光声成像，史俊辉等人最近对超分辨成像的进展作了全面综述。

在这些方法中，信息获取是基于点源的定位，可以达到比衍射极限更高的精度。点源可以是被激活的荧光分子[26-28]，粒子或液滴[33,34]，或被结构照明(如激光散斑)照明的光学吸收体[35-37]。将多个这样的图像组合起来重建一个“超分辨率”图像。这可以在我们的迭代联合稀疏(IJOSP)算法[36]上得到证明，该算法倾向于在每个多幅图像(“联合”)上具有相同位置的小源(“稀疏”)。所有这些方法都需要额外的实验努力来获得多个图像中的点光源，无论是通过移动的粒子或水滴，还是通过改变结构照明模式。

即使是使用均匀光照和没有移动粒子或液滴的一幅图像的传统光声数据采集，通过考虑非负性和稀疏性信息作为额外的知识，也可以显著超过这个分辨率限制。因此，所有现有的传统光声层析成像或声分辨率显微镜设置都可以实现分辨率增强，而无需额外的时间进行多次测量。这是受到了地球物理学的启发，即对地震信号的衰减进行补偿[38,39]。稀疏性作为附加信息被用于压缩感知，如Donoho[40]。2016年，我们在光声层析成像[41]中引入了压缩感知的稀疏时间变换，稀疏/非负性约束被用于2D和3D光声图像重建，但没有用于声衰减的补偿。在1.1节中描述的两阶段过程允许在1D中并行计算衰减补偿，其中复杂的迭代算法可以有效地实现这些约束。

对于一维(1D)光声压脉冲，非负性是显而易见的，因为光加热产生的初始压力总是非负的，而一维压力传播保持非负性。在3D中传播给出了负压分量，但是转换成球面投影，即测量声压的时间积分，再次得到所有的非负分布。

在正则化方面，比较了两种不同的方法:截断奇异值分解(T-SVD)方法[46]，它允许负值，不强制稀疏性，以及“Douglas Rachford分裂算法”(DR算法)，它使用正性和稀疏性[44,48]。我们证明，从T-SVD的分辨率对应于由熵产生的信息损失给出的主衍射极限。通过考虑正性和稀疏性，DR算法可以获得更好的分辨率。实验上，这在一维空间中得到了证明，但正如在1.1节中提到的，在三维空间中，使用球面投影可以在轴向上获得同样的分辨率增强。在横向上，由于角度影响有限，分辨率增强可能较小，但可以通过权重因子[49]进一步增强。

在这里，分辨率极限被定义为截止频率波长的一半，在截止频率处，表面上的声信号被抑制在噪声水平之下。对于线性重建方法，这等同于点源信号重建的宽度，即点扩展函数。对非线性方法，类似DR算法,模糊的数量取决于迭代和声信号本身,因此分辨率不能定义为点扩散函数的宽度,但在重建图像中，不同的来源如何相互区别。因此，分辨率必须被定义为一种定位度量。

方法

实验装置

在图1所示的装置中产生、衰减和检测超声波。为了激发强而宽的超声信号，采用了激光超声方法[50,51]。短的纳秒激光脉冲被定向到硅片上。为了激发强而宽的超声信号，采用了激光超声方法[50,51]。短的纳秒激光脉冲被定向到硅片上。晶圆片的一个圆柱形区域，从表面到几微米深，其直径由激光束决定，由于光学吸收而突然升温。受热体随后的热弹性膨胀导致主要垂直于晶圆表面的超声波发射。猪皮下脂肪组织在声波传播路径中由于吸收和散射导致声波衰减。在离开组织后，声波通过水传播，并被压电换能器检测。产生的电信号被放大(5073PR-40-E, Olympus NDT Inc.， Waltham, MA)，并通过示波器(DSO 5043, 300 MHz;安捷伦科技公司(Santa Clara, CA)。

两个安装法兰通过两个螺钉施加的小轴向力来保持与压电换能器6毫米和20毫米明确的距离。为了同时获得两个通过脂肪组织的信号，在晶圆束中心附近通过离子铣削实现了一个小步骤。采用无聚焦压电换能器(V358-SU, Panametrics, Waltham, MA)减小了衰减可能发生的局部变化的影响。如果硅片在靠近束流中心的地方出现了一小步，则两个信号通过脂肪组织的重叠时间会发生轻微的偏移。该传感器的中心频率为50.6 MHz，传感元件的直径为6.35 mm， - 6db带宽为81.2%。在观测带宽内，与脂肪层相对较厚引起的强衰减相比，设置中水短路径处的声衰减可以被安全忽略[11,21]。因此，不同的水程长度不会改变被测信号。机械装置被设计成确保硅片、脂肪组织和压电换能器平行对准的方式。这些组件的倾斜将导致不必要的信号损失，由于折射和反射。

此外，由于波显示平面波行为，波前的倾斜相对于传感器的传感元件会导致信号的低通滤波误导。超声产生的光脉冲直径为6 mm，由倍频Nd:YAG激光器(Continuum Surelite, 20 Hz重复频率，6 ns脉冲持续时间，532 nm中心波长)发射。所使用的脉冲能量范围为12 ~ 65 mJ。

图1 ：用于产生和检测声学平面波的装置。利用纳秒激光脉冲对硅片进行突然局部加热，可产生强宽带超声平面波。猪皮下脂肪组织在传播路径引起频率相关的衰减声信号。脂肪组织被固定在两个孔盘之间，对组织施加一个小的轴向力。6mm和20mm的间距螺栓保证了衰减路径的两个精确长度。对于这两个长度，衰减的声学平面波由非聚焦压电换能器检测，该换能器由蜗杆对准，以确保一维信号的传播和检测。

声衰减和分辨率限制的补偿

光声成像中的声衰减补偿可以减小到一维。理想声压(无衰减)和衰减的波形压力可以被如下关系描述：

w是角频率，波浪号表示信号在时间上的傅里叶变换。复域波由频率相关的色散、衰减with相速度C(w)和衰减系数描述。对于无衰减的理想波，波数K为：

对于衰减波：

c0是理想波的声速，它没有色散和频率依赖性。相速度和衰减系数之间采用kramer - kronig关系。

对于通过定义厚度的衰减样本传播的声信号，Dean-Ben等人[11]在频域建立了三维声衰减效应及其补偿模型对于通过定义厚度的衰减样本传播的声信号，Dean-Ben等人[11]在频域建立了三维声衰减效应及其补偿模型。在这里，这个推导将在一维下进行，因为我们根据2.1节中描述的实验装置得到平面波。由于我们的检测器所覆盖的带宽可以忽略水中相对于脂肪组织的声衰减[11,12]，所以我们认为在水中没有脂肪组织的测量信号是理想的。

根据亥姆霍兹方程描述一个初始位置点源和一个均匀衰减介质下衰减信号与理想信号的关系：

由1维格林方程：

可以得到：

其中γ(w)为衰减波的复数波数与理想波的实波数之差:

式2由格林函数推导而来，但由于亥姆霍兹方程是线性微分方程，因此其可用于任何解。与Dean-Ben等人[11]的3D方程相比，式2中的附加因子w/c0K表明相关频率和衰减系数近似为1。

衰减的波与理想波相反，其振幅根据方程2中的一个因子而衰减，因子如下：

由于衰减系数α随频率增长，我们可以确定截止频率Wcut使衰减波的振幅低于噪声水平：

其中信噪比SNR为未衰减的波幅值除以噪声水平，ln为自然对数。在分析光声成像的空间分辨率时，声信号在时域的宽度是至关重要的。相比于高频率带宽，小的宽度可以实现高空间分辨率？？如果根据式(4)，频率带宽受到热力学波动的限制，则根据奈奎斯特的空间分辨率限制是该频率波长的一半:

在时域中，声压p是傅域中的反傅里叶变换。


t表示时间上的卷积。它只能在少数特殊情况下进行解析计算，例如当α(w) (衰减系数) 是指数为2的幂律模型时。对于时间上的离散信号，可以写成矩阵表示法:

Mr描述了在脂肪组织中传播距离r对声衰减的影响。该矩阵还包括压电换能器和放大器的脉冲响应，使理想类信号成为实际信号。F表示傅里叶反变换。如上所述，奇异值呈指数递减，因此不能精确求出Mr，但可以用T-SVD方法逼近伪逆矩阵。T-SVD方法的截断准则来自于差异原理，指出如果奇异值的逆值大于信噪比[46]，则将其设为零。这就得到了与Eq.(4)中截止频率相同的截断频率，因此TSVD的分辨率与Eq.(5)中导出的分辨率相同。

将非负性和稀疏性作为附加信息考虑进来

使用DR算法来反演公式7，其中非负性和稀疏性作为附加信息通过最小化目标函数来实现。l1范数作为正则化器有利于稀疏解也有利于压缩感知。

对于DR算法的每次迭代，阈值算子Sλ/ρ只对正项应用软阈值，并将负项设为零。这使得只能得到非负解:


ρ是一个惩罚项，使矩阵反演鲁棒性更强。ρ初始化为确定值，但为了加快收敛速度，可以在每个迭代步骤之后进行调整。正则化参数的一个很好的估计是在l -curve曲线的边缘，在残差范数和解范数之间产生最佳的折衷。进行估算时，使用了Hansen的工具箱。

在三维空间中，波的传播也会产生负压信号。因此，不能直接应用正性假设。而使用球面投影，即测量声压[45]的时间积分，则可以得到正的声压。矩阵R是离散形式的时间积分算子，在下三角形部分和对角线上只有1，对角线以上为0。球面投影为正：

式7可以写作：

R-1为逆积分算子，即微分算子。为提高空间分辨率，可对任何三维光声图像进行重建，得到被测信号pr每一个测点都可以通过使用球面投影经过DR算法被锐化。理想的信号然后用作任何三维光声计算机层析成像重建[4]的输入：

结果

测量压力信号

图2 ：在没有脂肪组织(“水”，蓝色实线)的情况下，测量的声压作为时间的函数，6毫米厚的猪脂肪组织(红色虚线)和20毫米厚的猪脂肪组织(黄色虚线)，其中，分别取32、256和512个测量值的平均值。为了便于比较，信号进行了时移和缩放。

声波的到达时间定义为信号在其最大值和最小值之间为零的时间。当将两个脂肪组织样本放入测量室时，这个时间略有变化。在水温为25.5℃时，水中声速为1498 m/s;在1 MHz时，脂肪组织中声速为1512 m/s。到达时间被减去，这样就可以用相同的时间尺度绘制所有的信号。振幅也进行了缩放:水信号减少了150倍，6毫米脂肪信号减少了5倍。图2单次测量的噪声水平为0.45 a.u .，在脂肪中传播20 mm后的信号幅值范围内，信号会出现非常噪声。因此，32、257和512个测量值被平均，以将噪音水平分别降低到0.08、0.03和0.02，分别是水、6毫米脂肪和20毫米脂肪的测量值。再加上缩放，避免了图2中显示的噪声。

通过时域傅里叶变换，计算了图2中三个信号的频域幅值。以分贝为单位的声衰减系数由：

这是幂次定律：

指数n=1.5和α0= 0.87dB MHz -n cm -1很好地适应了宽频率范围的衰减。
在Eq.(4)所给出的截断频率之上，即脂肪组织在20 mm后约为11 MHz，在6 mm后约为24 MHz，信号幅值小于噪声水平，不能再确定衰减。根据Eq.(7)，描述声衰减问题的矩阵Mr是对角矩阵的傅里叶变换，其中奇异值随下式衰减：

矩阵的条件数为最大奇异值除以最小奇异值。

在无脂肪的水中(图2中蓝色实线)，理想的压力信号不是单一的正类脉冲，而是负的，并显示额外的“振铃”，这是由于硅片内部的激光-超声激励和压电换能器和放大器的特性。然而，为了能够使用正性和稀疏性，我们需要一个类似理想信号。因此，使用Mr矩阵乘以使用水信号作为卷积核的Mwater矩阵。

图3 测量的衰减作为频率的函数，并符合幂律(Eq.(11))。在由式(4)确定的截断频率以上的频率，由于噪声不能评估衰减(见文本)。
图4所示。利用T-SVD正则化补偿6mm厚度(红色虚线)和20mm厚度(黄色虚线)脂肪组织衰减的重建结果。这相当于空间分辨率限制32 μm为6毫米脂肪和70 μm为20毫米脂肪，由熵产生。将矩阵Mr与水信号的卷积矩阵相乘，得到测量室内无脂肪组织的纯水信号(蓝实线)的类正脉冲。

T-SVD方法是一种线性重建方法。如果测量重复了几次，如果测量数据被取平均值然后重建计算，或者如果每次测量都被重建然后重建的平均值被计算，它会给出相同的结果。这与非线性迭代DR方法不同。另一个重要的区别是，对于线性方法，重建的空间分辨率由峰值的宽度给出，如图4所示。而DR方法则不一定如此，因为峰值的宽度随着迭代次数的变化而变化，如图5所示，迭代次数分别为20次和200次，在Microsoft surface计算机上，200次迭代只需要8 s。在200到1000次迭代之间，DR解决方案只显示了很小的变化——因此我们在200次迭代时停止。因此，我们在一定距离上使用两个重叠的点源。

图5所示。20mm厚脂肪组织的声衰减补偿:T-SVD(蓝虚线。和20次迭代(FWHM为13 μm)、200次迭代(FWHM为5 μm)的DR方法(红虚线、黄实线)。对于线性SVD重建，峰值的宽度给出了空间分辨率，对于DR方法则不一定如此。信号被归一化为最大值为1。

图6所示。对20mm厚的脂肪组织进行声衰减补偿，采用T-SVD(红色虚线)和DR法(黄色虚线)迭代200次，重建后累加100个相同的测量值:左:90 μm步长。SVD分辨率为70 μm(见图4)，因此在SVD中也可以分辨出两个峰。右:45 μm步长。SVD不能分辨这两个信号，但DR清楚地显示出两个峰。

图7所示。20 mm厚脂肪组织的声衰减补偿，T-SVD(红色虚线)和DR方法(黄色虚线)，200次迭代，35 μm步长。左:重建后的100个相同的测量值之和。右图:单个测量的重建结果。

图8所示。空间分辨率与成像深度的关系比较:从Eq.(5)得到的分辨率，已被证明等于T-SVD方法和什么是声学衰减的最佳可能补偿没有使用额外的假设(蓝色实线)，“经验法则”因子200[3]，这被称为线性逼近(红色虚线)。在6毫米和20毫米的脂肪组织中，这些标记提供了使用Douglas Rachford (DR)方法的分辨率。

标签：脂肪组织,光声,分辨率,成像,Burgholzer,信号,负性,衰减
来源： https://blog.csdn.net/weixin_56433898/article/details/118437111