[luogu7600]封闭道路
作者：互联网
对于确定的$K$，问题也可以看作每一个点最多选$K$条出边，并最大化选择的边权和
关于这个问题，有如下的树形dp——
令$f_{k,0/1}$表示以$k$为根的子树中，根节点选择不超过$K/K-1$个儿子的最大边权和，转移为
$$
\begin{cases}f_{k,0}=\sum_{x\in son_{k}}f_{x,0}+\max_{S\subseteq son_{k},|S|\le K}\sum_{x\in S}(f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0})\\f_{k,1}=\sum_{x\in son_{k}}f_{x,0}+\max_{S\subseteq son_{k},|S|<K}\sum_{x\in S}(f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0})\end{cases}
$$
（其中$son_{k}$为$k$儿子的集合，$val_{x,y}$表示边$(x,y)$的边权）
对于后者，我们可以维护一个数据结构，支持加入一个元素和查询最大的$K$（或$K-1$）个元素之和
可以使用平衡树/权值线段树实现，单次复杂度为$o(\log n)$，总复杂度为$o(n\log n)$
记$deg_{k}$为节点$k$的度数，将所有边$(x,y)$分为三类：
1.$deg_{x},deg_{y}\le K$，这一类边一定可以选择，直接将$val_{(x,y)}$加入答案并删除
2.$deg_{x}\le K<deg_{y}$，这一类边实际上仅在$y$上有限制，我们可以在求$f_{y,0/1}$时的平衡树中先加入此边权即可
另外，为了维护，在dp结束后要删除$f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0}$，如果直接在multiset中删除会导致节点个数
3.$deg_{x},deg_{y}>K$，这一类边用之前的dp即可
由此，每一次dp的节点数只有$deg_{k}>K$的节点，而$\sum_{K=0}^{n-1}\sum_{deg_{k}> K}1=o(n)$，总复杂度即$o(n\log n)$
（另外注意搜索时，$deg_{k}>K$的点的出边中要删除$deg_{k}\le K$的点，来保证复杂度）
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 #define ll long long
5 #define pii pair<int,int>
6 #define mid (l+r>>1)
7 struct Edge{
8 int nex,to,len;
9 }edge[N<<1];
10 vector<pii>G[N];
11 vector<ll>ans,v[N];
12 int E,V,n,tmp,r[N],id[N],head[N],work[N],vis[N],rt[N],ls[N*100],rs[N*100],sz[N*100];
13 ll sum,f[N*100],dp[N][2];
14 bool cmp1(int x,int y){
15 return r[x]<r[y];
16 }
17 bool cmp2(pii x,pii y){
18 return r[x.first]>r[y.first];
19 }
20 void update(int &k,int l,int r,int x,int y){
21 if (!k)k=++V;
22 sz[k]+=y,f[k]+=x*y;
23 if (l==r)return;
24 if (x<=mid)update(ls[k],l,mid,x,y);
25 else update(rs[k],mid+1,r,x,y);
26 }
27 ll query(int k,int l,int r,int x){
28 if (l==r)return 1LL*min(x,sz[k])*l;
29 if (sz[rs[k]]>=x)return query(rs[k],mid+1,r,x);
30 return f[rs[k]]+query(ls[k],l,mid,x-sz[rs[k]]);
31 }
32 void add(int x,int y,int z){
33 edge[E].nex=head[x];
34 edge[E].to=y;
35 edge[E].len=z;
36 head[x]=E++;
37 }
38 void dfs(int k){
39 vis[k]=1;
40 dp[k][0]=dp[k][1]=0;
41 for(int &i=work[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
42 if (r[edge[i].to]>tmp)break;
43 for(int i=work[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
44 if (!vis[edge[i].to]){
45 dfs(edge[i].to);
46 dp[k][0]+=dp[edge[i].to][0];
47 ll s=dp[edge[i].to][1]+edge[i].len-dp[edge[i].to][0];
48 if (s>0){
49 update(rt[k],1,1e9,s,1);
50 v[k].push_back(s);
51 }
52 }
53 dp[k][1]=dp[k][0];
54 dp[k][0]+=query(rt[k],1,1e9,tmp);
55 dp[k][1]+=query(rt[k],1,1e9,tmp-1);
56 for(int i=0;i<v[k].size();i++)update(rt[k],1,1e9,v[k][i],-1);
57 v[k].clear();
58 }
59 vector<ll> minimum_closure_costs(int n,vector<int>u,vector<int>v,vector<int>w){
60 memset(head,-1,sizeof(head));
61 for(int i=0;i<=n-2;i++){
62 u[i]++,v[i]++;
63 G[u[i]].push_back(make_pair(v[i],w[i]));
64 G[v[i]].push_back(make_pair(u[i],w[i]));
65 sum+=w[i];
66 }
67 for(int i=1;i<=n;i++){
68 id[i]=i;
69 r[i]=G[i].size();
70 }
71 sort(id+1,id+n+1,cmp1);
72 for(int i=1;i<=n;i++){
73 sort(G[i].begin(),G[i].end(),cmp2);
74 for(int j=0;j<G[i].size();j++)add(i,G[i][j].first,G[i][j].second);
75 }
76 memcpy(work,head,sizeof(work));
77 ans.push_back(sum);
78 for(int i=1,j=1;i<n;i++){
79 while ((j<=n)&&(r[id[j]]<=i)){
80 for(int k=head[id[j]];k!=-1;k=edge[k].nex){
81 if (vis[edge[k].to])sum-=edge[k].len;
82 else update(rt[edge[k].to],1,1e9,edge[k].len,1);
83 }
84 vis[id[j++]]=1;
85 }
86 tmp=i;
87 ans.push_back(sum);
88 for(int k=j;k<=n;k++)
89 if (!vis[id[k]]){
90 dfs(id[k]);
91 ans[i]-=dp[id[k]][0];
92 }
93 for(int k=j;k<=n;k++)vis[id[k]]=0;
94 }
95 return ans;
96 }
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标签：int,sum,封闭,luogu7600,son,edge,道路,dp,deg 来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/14970654.html